如何在数学概念教学中培养学生的创造性思维能力

现代教育观念认为：创造是现代人的本质特征，创造教育是现代教育的显著标志之一。人的创造力，其核心是创造性思维能力，培养学生的创造性思维，发展创造力，是现代教育的出发点和归宿，是全面实施素质教育的的要求。数学教学重要的是培养学生的思维能力，而创造性思维又是数学思维的品质，是未来的高科技信息社会中，具有开拓、创新意识的开创性人才所必须具有的思维品质。

关键词：数学概念  创造性思维  培养能力　

数学概念是人类对现实世界的空间形式、结构关系、数量关系的简明概括，是对一类数学对象的本质属性的反映。它是数学学科的精髓和灵魂，是学生进行计算、解答、证明的依据，也是培养学生创造性思维的良好素材。因此，应引起对数学概念教学的足够重视。然而，由于数学概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以“告诉”为主，让学生“占有”新概念，置学生于被动地位，使思维呈依赖性。这不利于创新型人才的培养。数学课程标准指出：数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，让学生经历数学概念的形成与应用过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式，要从实际出发，引导学生通过观察、实践、思考、猜想、探索、交流、反思，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。大教育家波利亚也曾指出：学习最好的途径是自己去发现。所以，在平时的教学中，一定要通过多种途径和方法引导学生像数学家那样去“想数学”“做数学”，“经历”一遍探索、发现、创新的过程，使学生在获得概念的同时还能培养他们的创造性思维的意识和能力。

一、引入概念时鼓励猜想

    “数学的发展并非是无可怀疑的真理在教学上的单纯积累，而是一个充满了猜想与反驳的过程”， 牛顿也曾说过“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”科学需要的就是大胆的猜想，小心地验证。猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力。引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础，更是培养学生猜想习惯的良好契机。因此，概念引入时教师应从实际出发（教材的实际、学生的知识水平和年龄实际、生活和生产实际等），从问题入手（直观具体的、本学科的、跨学科的问题等），通过与本概念有明显联系、直观性强的实际例子，让学生依据已有的知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段，以培养学生具有敢于猜想的习惯、善于猜想的意识，形成数学直觉、发展数学思维、获得数学发现的基本素质。

如在学习《平行四边形的面积》时，教师利用多媒体呈现学生熟悉的情景：种植园里各种植物郁郁葱葱，分别种在划成不同形状的地块上。然后出示种有竹子和杜鹃的地块，分别呈正方形和长方形，要求算一算它们的种植面积，学生运用已学的知识很快解决了问题。接着出示一块形如平行四边形的青菜地，让学生猜一猜它的面积大概是多少？平行四边形的面积应怎么求？学生对未知领域的探索有天然的好奇，思维的积极性被激发，纷纷根据前面的知识作出如下猜测（1）面积是长边和短边长度的积；（2）长边和它的高的积；（3）短边和它的高的积；（4）先拼成一个长方形，跟这个长方形的面积有关；……。教师一一板书出来，学生见自己的思维结果被肯定，心理上有一种小小的成就，从而更激起了主动探索的欲望。

再如：在圆的定义的教学中，一位教师是按如下方式引入的：

师：为什么车轮要做成圆形的呢？难道不能做成别的形状，比方说三角形、四边形，等等？

学生一下子被逗乐了，纷纷议论：不能，它们不能滚动！

师：那就做成这样的形状吧！（说着他在黑板上画出一个椭圆，并用彩色粉笔点出其中心）

学生先是迷惑，继而大笑，经过一阵窃窃私语，有学生答道：如果这样，车轮前进时就会忽高忽低。

师：为什么做成圆形的车轮就不会忽高忽低呢？

经过讨论，学生猜想到：因为圆形车轮上的点到轴心的距离是相等的。（至此，教师引出了教科书中关于圆的形式的定义，真是水到渠成！）

二、形成概念时展现再创造过程

    形成概念是概念教学中至关重要的一步，是通过对具体事物的感知、辨别而抽象概括的过程，这个过程应该通过学生自主探索去完成，用自己的头脑亲自去发现事物的本质属性或规律，进而获得新概念。现代著名心理学家布鲁纳认为：“发现不限于那种寻求人类尚未知晓的事物的行为，正确的说，发现包括用自己的头脑亲自获得知识的一切形式。”发现是创造的首要形式。教师可以引导学生在猜想的基础上进行验证、发现。如上例，学生在做出种种猜想之后进行操作：小组合作把平行四边形剪、拼成一个会求面积的平面图形，找出新图形和原图形的面积有什么关系，再推导出平行四边形面积的计算公式，从而验证猜想，得出刚才有的猜想成立，有的猜想不成立。由于问题是自己提出也是自己解决的，激发了学生在求知过程中主动创造的潜在能力。

要让学生有所发现必须创设好活动情景。如学习《三角形的认识》，学生对“围成”的理解有困难。教师可让学生准备10厘米、16厘米、8厘米、6厘米的小棒各一根，选择其中三根摆成一个三角形。在拼摆中，学生发现用10、16、8厘米和10、8、6厘米的小棒都能拼成三角形，当选16厘米、8厘米、6厘米长的三根小棒时，首尾不能相接，不能拼成三角形。并且学生经过探究10、16、6厘米的三根小棒也不能拼成三角形。借助图形，学生不但直观的感知了三角形“两边之和大于第三边”，而且明白了“三角形”不是由“三条线段组成”的图形，而应该是由“三条线段围成”的图形，使学生对三角形的定义有了清晰的认识。因此，在概念的形成过程中教师要努力创造条件，给学生提供自主探索的机会和充分的思考空间，让学生在观察、操作、实验、归纳和分析的过程中亲自

经历概念的形成和发展过程，进行数学的再发现、再创造。

荷兰著名数学家弗赖登塔尔指出，数学教学的核心是学生的“再创造”。也就是说，数学学习事实上不是要机械地重复历史中的“原始创造”，而应根据学生自己的体验，用自己的思维方式，重新创造出有关的数学知识，这对个体理解概念来说是非常有意义的，它表明理解即意味着由自己去建构。

正如一位数学家所说：“一堆没有亲身体验或视觉形象所支持的概念、定义不能开发智力，而只会关闭思路”。展现概念的再创造过程，应当鼓励学生动手操作、动脑思考、动口交流，应对学生的思维给予暴露的机会，让他们有可能去“触及自己的情绪和意志领域，触及自己的精神需要”（赞可夫语），这既有利于教师确定再创造的起点，又有利于学生主体提高对概念的自我认识和自我反省。而从学生共同体的角度来说，通过学生间的充分交流，他们不仅可以有更多的机会对自己的想法进行表达和辩论，还可以学会如何去聆听别人的意见并作出适当的评价，再创造的过程可以以合作的方式展开。例如：在“相似三角形”概念的教学中，教师可以提供给学生倍数不等的放大镜，让学生在教科书上随便选一幅图，用放大镜进行观察，并让他们相互讨论观察的结果，如：线段怎样变？整体图形怎样变？图形的面积是原来的多少倍？周长呢？三角形会不会变成四边形？会不会变成五边形？会不会变成圆？图形中哪些元素没有发生变化？

三、表述概念时力求准确

    概念形成之后，应及时让学生用语言表述出来，以加深对概念的印象。语言作为思维的物质外壳，教师可从学生的表述中得到反馈信息，了解、评价学生的思维结果。由于数学概念是用科学的、精练的数学语言概括表达出来的，它所揭示事物的本质属性必须确定、无矛盾，有根有据和合情合理。因此培养学生正确的表述概念，能促进学生思维的严密性、深刻性。如概括圆的定义时，有的学生会漏掉“在同一平面内”这个条件，有的会说“圆上的点到圆心的距离等于半径”等；又如讲述“有理数除法法则”、“分式的基本性质”会丢了“零除外”这个条件。再如认识梯形时，教师从直观的模型或水坝横截面的形状引入，抽象出图形，然后让学生对大小、形状、位置不同的梯形进行观察、比较、分析，找出它们的共有本质属性，发现用“只有”就可以说明梯形的另一组对边是不平行的，最后用准确简练的语言表达为“只有一组对边平行的四边形叫做梯形”。这样通过对重点字词的剖析，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，并且在组织语言给概念下定义的过程中，既培养了语言表达能力，也锻炼了思维能力。

四、理解概念时尝试错误

每一个数学概念都有这样或那样的限制条件，如果忽略了这些条件就可能导致解题的失误。因此，在理解概念时必须时刻注意其适用范围。但有些概念的范围常隐藏于问题的深处而被学生所忽略。为了加深学生对概念的认识，教学时需要通过“示错”来巩固概念，使学生真正认识概念的本质。

如：两实根之和为2的方程是（　　）

A．          ｘ2－2ｘ＋4＝0

B．          2ｘ2＋4ｘ＋3＝0

C．          ｘ2－4ｘ－3＝0

D．          ｘ2－2ｘ－2＝0

误解：A

    上题中，学生常常不去考虑方程有实根的条件而产生误解，看到题目后，只考虑一次项系数与二次项系数之比为-2，致使误选A。为了解决这类问题，可通过“示错”后让学生反思，使学生在认识错误之后提高对数学概念的理解程度。

总之，错误是学习的正常现象，而要避免错误，可通过“示错”教学使学生在尝试错误中认识错误产生的原因，体会错误带来的失败之痛。在找出错误的原因，改正错误之后，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

五、巩固概念时注重变式

    巩固是概念教学的重要环节。心理学原理告诉我们，概念一旦获得，如不及时巩固，就会被遗忘。巩固概念，首先应在初步形成概念后，引导学生正确复述，其次要运用变式加深理解。所谓变式，就是使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式，使非本质属性时有时无，而本质属性保持恒在。恰当运用变式，能使思维不受消极定势的束缚，实现思维方向的灵活转换，使思维呈发散状态。

如为了帮助学生从不同角度认识“同旁内角”的本质特征，教师可以提供一组“形变而质不变”的感性材料：

图2

然后，让学生分析图中的 ∠1、∠2是什么位置关系的角，这样不仅能找出标准图形（图1）中的同旁内角，还能找出变式图形（图2、图3）中的同旁内角 进而有效排除变式的干扰，对概念的理解更加深刻。

初步形成的概念，巩固程度差，易泛化于邻近概念，此时利用变式有助于纠正学生的思维偏差。学生在感知几何图形的过程中，往往会受到图形的一些非本质属性的影响，把画在黑板上或书本上的标准图形看作本质属性。如将等腰三角形的顶点画在左方，底边画在右方时，有的学生就认为它的两腰不在他的视线两旁，而错误的认为它不是等腰三角形。因此利用变式图形，如呈现若干个位置或大小不同的等腰三角形，让学生观察、辨认，就有利于克服感知图形时的消极影响，帮助学生从错误的反省中激起对知识更为深刻的正面思考，使获得的概念更精确、稳定和易于迁移。

六、运用概念时联系实际

概念的形成是一个由特殊到一般的过程，而概念的运用是一个由一般到特殊的过程，它们是学生掌握概念的两个阶段。通过运用概念解决实际问题，可以加深、丰富和巩固学生对数学概念的掌握，并且在概念的运用过程中培养学生的实践能力。这对于提高学生的创造力起着至关重要的作用。因为只有积极参与实践，才能发现新问题，提出新见解、新思想、新方法，才能把握创造的机会进行成功的创造，提高创新能力。让学生用学到的数学概念解决日常生活中的实际问题，是概念教学中培养学生的创造性思维的有效手段。

    如学习“年月日”以后，可以让学生算一算自己的生日是星期几，如果今年的生日已经过了，算一算明年的生日是星期几，再算一算父母今（明）年的生日是星期几，则可以在前一个休息日为他们的生日准备小礼物。又如学习了“约数和倍数”后，让学生试着解决这个问题：“大队辅导员王老师买了一块长48厘米、宽42厘米的布，打算自己做队标志。请你帮王老师计算：最多能做同样正方形的队标志底布多少块？要求剪出的正方形最大且不浪费边角料。”学生分析题意后，发现了此题的实质：要从一个长方形内剪成若干个同样的正方形，而且不浪费材料，就是求长与宽的公约数，若要求所得的正方形为最大，则是求长与宽的最大公约数。再让学生画图验证。由于把枯燥的概念同学生的生活实际结合起来，学生对概念的理解就更透彻了，还认识到了数学的价值，获得了运用知识的能力。

再如认识了百分数以后，请每个学生当一次服装店老板：“你进了40件衬衫，为了获得成本的二成盈利确定价格。同时告诉店员，如过了一个月还有卖不掉的，就按定价削减2折出售，结果全部卖完后盈利560元，占预计盈利的7成。盘货时你想算一算减价后出售了多少件衬衫，该怎么算？”学生对解决这个问题很感兴趣，解答后还提出了一些使卖剩商品盈利更多的策略。这样不但培养了学生的实践能力，还发展了思维的深刻性、灵活性和独创性。

以上是笔者对数学概念教学中培养创造性思维的一些探索。众所周知，人类认识科学的一般途径是引出问题、形成猜想、演绎结论、知识应用。在数学概念的教学中，也让学生经历这样一个过程，不但能使学生逐步掌握概念的本质，还能有效的发展学生的创造性思维。

   “概念是思维的形式，概念所反映的是现实中一定事物或现象的一般的、本质的和特有的特征和特性”。在数学概念获得的过程中既要注重概念的形成，还要注重概念的同化和运用。既要会从旧知识中导出新概念，还要会由具体事实概括出新概念。数学概念的教学大致可分为：概括、表述、识别、运用四个阶段，教学时要抓关键，灵活把握，不必追求单一的教学模式，同时还要注重思想和方法。只有这样才能提高数学概念教学的水平，才能有效地提高学生的创造性思维的能力。