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解一元二次方程的基本思想方法是通过“降解方程次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、分解因式法。
⒈直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的 方程，其解为x=±√n+m .
例1.解方程⑴(x-2)^2 =9⑵9x^2-24x+16=11
分析：⑴此方程显然用直接开平方法好做，⑵方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
⑴解：(x-2)^2=9 ∴x-2=±√9 ∴x-2=±3 ∴x1=3+2 x2=-3+2 ∴x1=5 x2= -1
⑵解：9x^2;-24x+16=11 ∴(3x-4)^2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x=﹙ 4±√11﹚/3 ∴原方程的解为x1=﹙4﹢√11﹚/3,x2= ﹙4﹣√11﹚/3 炉
2.配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c
将二次项系数化为1：x^2+ba/x = - c/a
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+(b/2a)^2= - c/a+(b/2a)^2
方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a)^2 = -c/a﹢﹙b/2a)^2;
当b^2-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚^2;
∴x=﹛﹣b±[√﹙b^2;﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程 3x^2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
将二次项系数化为1：x^2-﹙4/3﹚x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x^2-﹙4/3﹚x+(4/6)^2=? +(4/6)^2
配方：(x-4/6)^2= +(4/6)^2
直接开平方得：x-4/6=± √[? +(4/6)^2 ]
∴x= 4/6± √[? +(4/6)^2 ]
∴原方程的解为x?=4/6﹢√﹙10/6﹚，x?=4/6﹣√﹙10/6﹚ .
3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b^2-4ac的值，当b^2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x^2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x^2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)^2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±√(b^2-4ac)]/(2a) ∴原方程的解为x?=,x?= .
4.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程：
⑴ (x+3)(x-6)=-8 ⑵ 2x^2+3x=0 ⑶ 6x^2+5x-50=0 (选学) ⑷x2-2(+)x+4=0 (选学)
⑴解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x^1=5,x^2=-2是原方程的解。
⑵解：2x^2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
⑶解：6x^2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=,x2=- 是原方程的解。
⑷解：x2-2(+)x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法) (x-2)(x-2)=0 ∴x1=2,x2=2是原方程的解。
小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。
但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。(三种重要的数学方法：元法，配方法，待定系数法)。 |
