3.3解一元一次方程（二）第二课时 利用去分母解一元一次方程目前初中数学主要分成代数与几何两大部分，其中代数学的最大特点是引人了未知数，建立方程，对未知数加以运算．而最早提出这一思想并加以举例论述的，是古代数学名著《算术》一书，其作者是古希腊后期数学家一“代数学之父”丢番图．丢番图是希腊数学家，他的13卷巨著《算术》在代数符号、数论、代数方程解法等方面均有重要贡献，其不定方程理论对后世产生了巨大影响，以至后人把整系数不定方程称为“丢番图方程”．关于丢番图的生平，我们仅能从其墓志铭中略知梗概，这篇墓志铭本身就是一个有趣的数学问题，因为被4世纪数学家麦特劳德尔收入一部数学问题集中，得以流传至今：丢番图的生平这是一座石墓，里面安葬着丢番图．请你告诉我，丢番图寿数几何？他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年．再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭．五年之后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲一半的年龄．晚年丧子老人真可怜，悲痛之中渡过风烛残年．请你告诉我，丢番图寿数几何？解：设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意可列方程怎样使这个方程转化为x=a的形式？请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？分析：为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？各分母的最小公倍数84.去分母（方程两边同乘各分母的最小分倍数）移项系数化为1答：丢番图去世时的年龄为84岁．合并同类项解：这件珍贵的文物是纸莎草文书，是古代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，至今已有3700多年的历史了，在文书中记载了许多有关数学的问题．问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33．解：设这个数为x，可得方程：为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？各分母的最小公倍数42．解：去分母，得28x＋21x＋6x＋42x＝1386．合并同类项，得97x＝1386．系数化为1，得去分母时须注意1.确定各分母的最小公倍数；2.不要漏乘没有分母的项；3.去掉分母后，若分子是多项式，要加括号，视多项式为一整体．归纳总结解有分数系数的一元一次方程的步骤：1．去分母；2．去括号；3．移项；4．合并同类项；5．系数化为1．主要依据：等式的性质和运算律等．练习：（1）碧空万里，一群大雁在飞翔，迎面又飞来一只小灰雁，它对群雁说：“你们好，百只雁！你们百雁齐飞，好气派！可怜我是孤雁独飞．”群雁中一只领头的老雁说：“不对！小朋友，我们远远不足100只．将我们这一群加倍，再加上半群，又加上四分之一群，最后还得请你也凑上，那才一共是100只呢，请问这群大雁有多少只？解：设这群大雁有x只，列方程解方程，得x＝36提示：（2）火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求火车的长度．解：设火车长度为x米，列方程解，得x＝160答：火车的长度为160米．例4：解方程解：去分母（方程两边同乘12），得3（x－1）－4（2x＋5）＝－3×12去括号，得3x－3－8x－20＝－36移项，得3x－8x＝－36＋3＋20合并同类项，得－5x＝－13系数化为1,得解：去分母（方程两边同乘12），得4（－x＋4）－12x＋5×12＝4（x－3）－3（x－1）去括号，得－4x－16－12x＋60＝4x－12－3x＋3移项，得－4x－12x－4x＋3x＝－12＋3＋16－60合并同类项，得－17x＝－53系数化为1,得解：去分母（两边同乘12），得8（x－6）＝3（－2x－3）－2去括号，得8x－48＝－6x－9－2移项，得8x＋6x＝－9－2＋48合并同类项，得14x＝37系数化为1,得练习：解下列方程：例5：（1）一件工作，甲单独做25小时完成，乙单独做12小时完成．那么两人合作多少小时完成？分析：本题是一个典型的工程类应用题．甲单独做20小时完成的工作量+乙单独做12小时完成的工作量=完成的工作总量1解：设两人合作x小时完成此工作，可列方程答：两人合作6小时完成．?去分母，得4x＋6x＝60合并同类项，得x＝6（2）一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做12小时完成．甲先单独做6小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？分析：把总工作量看作是1．设还要x小时才能完成工作．甲的工作总量＋乙的工作总量＝总工作量1．答：两人合作还要4小时完成．解：设两人合作还需x小时完成此工作，列方程去分母，得4x＋24＋5x＝60移项及合并同类项，得9x＝36系数化为1,得x＝4（3）一件工 |
