数学考试质量分析

　　数学试卷分析
　　宝鸡市2009年高三质量检测（三）数学试题，遵循今年《考试大纲》和高中数学《教学大纲》中知识体系和能力的要求、体现《高中数学课程标准》精神，在解题的通性通法上做精心设计，努力反映新课程改革数学命题新方向。整套试题以函数与不等式，数列，概率与统计，三角函数（基本变换），直线、平面、简单几何体，解析几何，导数与向量等重点知识构建试卷，突出了试题的交汇性和综合性，显示了数学命题考查思维能力的较高要求；同时，试题还重点考查了数形结合、化归转化、函数方程等数学思想方法和分析法、综合法、归纳法、演绎法等常用的逻辑推理方法。逐题分析如下：
　　一、选择题
　　第1题：集合和充要条件是数学中最基本、最重要的概念之一，因之也是高考数学命题的重要考点。解答本题许多同学往往忽视x的多值性，错判为充要条件，少部分同学错判为必要非充分条件。
　　第2题：本题主要考查复数的概念和基本运算。最典型的错误是少数同学“先通分”，有的不知道处理的思路，失手无策。解题的关键是运用复数概念，抓住“虚部为2”这个要点，化简直接得到（不用再整理实部），解（或不解观察选项）可得结论。
　　第3题：本题考查圆的标准方程（能由标准方程迅速找出圆心及半径）、对称问题（线对称）等重要数学概念及作图能力、数形结合的解题方法、解选择题的排除法。许多学生由于符号判断失误而失分。
　　第4题：本题考查线面垂直、二面角、面面垂直等立体几何中的重要概念，最重要、最基本的模型——正方体；对正方体模型的熟悉程度对解题很重要。 不少学生逐一计算验证，费时费力还失误较多。解题思路不畅，主要是抓不住寻找二面角的关键元素，以致眼花缭乱。
　　通过连线，注意到平面△ BD就是正方体的截面B1BDD1, 平面△B1CD就是正方体的截面A1B1CD，观察可得。 或者依据“ 平面，则过直线 的平面 平面”，注意到 平面， 平面，可得结果。
　　第5题：本题考查三角函数图象变换的概念，以正弦函数为背景考查函数图像的平移变换，藉此考查化归转化的数学能力。
　　解此题可以画出简图，分析两个图形的差异得解；也可以将所给函数分别变形为 与，或者也可由平移时的系数必须为1，变形为 与 ，比较两者之间的不同点，得到结论。
　　第6题：本题主要考查函数（左、右）极限的概念。由于一些同学对极限概念理解较为局限，忽视极限的本质，受到函数求值、数量相等传统数学观念影响，往往做出错误选择。
　　第7题：本题主要考查三角函数的值域、直线的斜率、圆的参数方程等数学概念及数形结合、代入消元、转化化归等数学思想和运算能力及逻辑思维能力。由于知识容量大，思路选择的难度加大，本题失分率较高。
　　①首先注意到 ，可以排除C、D，其次可以考虑 会不会为 ，得到答案（会则答案为A，否则答案为B）。 由 整理得 ，至此已可得出结论，因为再整理可得 ，这是三角函数部分高考的一个热点（ 型问题），但本题显然没有必要整理到这一步。②也可转化为过点、点（实际上是单位圆上的点）直线斜率（2倍）的取值范围问题。
　　第8题：本题考查对数的概念和性质、运算能力（变式求值）、整体代入的解题方法。一些学生看不出由已知可得，变式即，两式相加即得结论。
　　第9题：本题考查向量的概念和基本运算及消元的数学思想。试题新颖，客观上增加了难度，学生失分率较高。
　　如直接解，可由 得 ，即 ，得 ， 垂直；也可由  得，与已知中另一等式联立可得 . 如采用间接解法，可由选项出发，举特例逐一检验。
　　第10题：本题以三角形“四心”为载体，考查轨迹的概念和求轨迹的一般方法。 许多学生不注意画图助思，解题失误较多。只要数形结合，画图逐一观察。 因△ABC为直角三角形，显然垂心的轨迹只能是直角顶点；内心因为横、纵坐标始终相等，其轨迹必为线段；重心与外心轨迹可以求出，均为圆的一部分。
　　第11题：本题考查等差数列的概念和综合分析问题的能力以及特值验证和抽象推理的解题方法。由于试题形式较新，平时练习中比较少见，对许多学生而言缺少解题思路，失分较多。 本题的解题思路一般有两种：
　　①分别判断两个数列首项、公差的符号。 由可知是首项为负数，公差为正数的等差数列，从第 项开始，其余项为正数；同理，是首项为正数，公差为负数的等差数列，从第项开始，其余项为负数。
　　②特值法。 由“ ， 对一切自然数n都成立”得等差数列分别为递增、递减数列，因此构造等差数列分别为“ ”与“ ”，可得结果。本题也可看成等差数列前n项和求最大值（或最小值）问题的两个一般化结论。 类似的问题在等差数列部分比较多，只是平时很少给出一般化的结论。
　　第12题：本题主要考查数学应用意识和球的基本概念，重点考查估算能力和灵活运用数学知识解决实际问题的能力。 许多学生直接计算，浪费时间，失分较多。
　　①凭籍个人实际经验，由足球大小估算半径，近似计算得答案。②设而不求，整体代入，最后带入数字计算。 将正五边形化为五个小三角形，正六边形化为六个小三角形，在最后可取3.1，有些数字在计算时可以适当变化。
　　12道选择题中新题较多，客观上难度加大，给学生思考开创了空间，延长了时间，再加上部分学生对解答选择题还缺乏必要的思路和具体方法，有的按部就班，思路单一，耗时较大，给顺利解答全卷没有赢得时间，总体得分率不高。
　　二、填空题
　　第13题：本题考查两角和的余弦公式、诱导公式、特殊角三角函数值等数学基础知识，并考查观察与变形转化的数学能力。原式，由已知中的与 ，可以联想到特殊角 ，从而不用列式，心算可得结果。 这是一道得分率较高的试题。
　　第14题：本题考查二项式定理的基础知识和观察与变形转化的能力。 类似求两个二项式乘积中某一项系数的题目及变形技巧在高考中曾多次出现；解题方法有多种：比较巧的解法是，通过变形，心算得出结果，
　　原式 ，可以看出 项的系数必为 .
　　一般的解法，也可将本题看成排列组合应用题去处理，所求的结果相当于从 与中分别取出若干个（含系数），组合成 ，系数显然是 ，这种方法具有一般性，可以减少运算量；
　　不少学生囿于常规思路，写出两个二项式展开式的所有项，逐项相乘，整理化简得出结果，计算量大，且容易出错。
　　第15题：本题以函数恒成立问题为载体，考查二次函数等知识和基本变形转化的运算能力。解题中学生等价转化的意识较为淡薄，由于“ 对一切正实数x都成立”等价于“ 对一切正实数x都成立”，所以对正实数x只要最小值即可。
　　值得注意的是“恒成立问题”是高考热点之一，学生掌握不太理想，失分较多。据统计本题是学生填空题中得分率最低的一道题。
　　第16题：本题考查利用排列组合知识解决实际问题的能力，计算量不大，但知识与方法的含量高，是排列组合部分一道典型的复习题。 许多学生对“先从有限制条件的元素入手，分类讨论求解。”理解不深，解题方法掌握还欠熟练。
　　四道填空题比较常规，考查数学基础知识和基本运算能力，学生得分率较好。
　　三、解答题
　　第17题：本试题以社会热点素材为背景，联系实际，形式新颖。考查学生运用正、余弦定理分析解决实际问题的能力，解题时，学生必须通过把实际问题抽象成数学模型，再运用正、余弦定理求解。但部分学生由于知识的遗忘导致出错，对“方位角”不清楚，各种信息转化的能力不够，概念模糊，导致失分。
　　第18题：本试题为“概率与统计”的实际应用题，试题从学生的现实实际出发，好理解，得分率较高。但有相当一部分学生运算能力较差，分布列都做对了，粗心大意，算错了数学期望。由于审题不慎导致出错的学生就更多。
　　第19题：本试题为立体几何的综合题，既可用传统的解法，也可用空间向量的方法。综合考查了线线关系，线面关系及直线与平面所成的角。这些都是立体几何中的重点与难点，也是高考中的热点。部分学生这部分知识欠缺太多，得分不够理想。 解题难点在作辅助线，在这方面许多学生还存在问题。
　　第20题：本试题为数列内容的一道基本题。主要考查学生数学变形、转化及等比数列、数列求和中的裂（拆）项的方法。由于学生对这种类型的题目训练较多，本试题通过率较高。
　　第21题：本试题为解析几何的综合题，以双曲线为载体，结合平面向量，以及分类讨论的数学思想方法考查学生的实际应用数学知识的能力。许多学生或者运算能力较差、或者考虑问题不全面，导致解题失败。
　　第22题：本试题为函数，导数，不等式知识的综合应用，对学生的思维和能力要求很高。以三次函数为载体，结合分类讨论的思想，对函数，导数，不等式的重点内容进行了全面的考查，是一道很好的试题，可以起到压轴题的作用，提高区分度。第一问大部分学生可以做出来，但第二问，第三问能做出来的学生寥寥无几。
　　六道解答题虽然题型比较熟悉，但由于各题设问思路和角度改变，立意新颖，部分学生在解答时思维受阻，显得不够得心应手。还有部分学生在解答时有思路，但不善于表达叙述，书写潦草，随意性较大，失掉了该得到的分数。
　　最后阶段复课建议：
　　1. 明确复习重点，巩固基础知识；各学校要根据考试说明，结合本学校（班级）高三数学复习情况，仍然要进一步巩固基础知识，力争在基础题上不失分。从本次考试看，学生在中等题上得分率仍有较大空间，尤其是在命题略加改变与调整的情况下，许多学生还不能充分应对，象选择题中的第7、9、10、11、12等题，有很多学生就不能正确理解，又如解答题的17、19、20、21题的得分率依然较低，而这些题都是常规问题，因此“常规问题要巩固”是下一阶段复习的重点。
　　2. 科学计划，合理组卷；近阶段，各校均有各地模拟卷，各校要根据自己学生的特点，有的放矢组卷，对重点内容要经常作一定的回顾，温故而知新，对难点问题，要根据学生的接受能力，有效分解，要关注学生的失分点，寻找争分点，使学生在训练中螺旋上升。对于重点问题，要通过适当的反复。有些训练，要视学生掌握的情况而决定其频率与难度。目前单元复习要与综合考试相结合进行。
　　3.讲练得当，注重思想；在复习的最后阶段，因学生的认知能力较前已有一定的飞跃，因此第二、三轮的复习是学生能力提升的关键时期，教师在讲解问题的过程中要注意详略得当，有些问题点到为止，有些问题要求解解到底，给学生一个完整的板书。要加强教学反思，揭示问题的内涵和本质，揭示解决问题的数学思想方法。有些问题要给学生一些规范化、程式化的思路和样板。
　　一般的解法，也可将本题看成排列组合应用题去处理，所求的结果相当于从 与中分别取出若干个（含系数），组合成 ，系数显然是 ，这种方法具有一般性，可以减少运算量；
　　不少学生囿于常规思路，写出两个二项式展开式的所有项，逐项相乘，整理化简得出结果，计算量大，且容易出错。
　　第15题：本题以函数恒成立问题为载体，考查二次函数等知识和基本变形转化的运算能力。解题中学生等价转化的意识较为淡薄，由于“ 对一切正实数x都成立”等价于“ 对一切正实数x都成立”，所以对正实数x只要最小值即可。
　　值得注意的是“恒成立问题”是高考热点之一，学生掌握不太理想，失分较多。据统计本题是学生填空题中得分率最低的一道题。
　　第16题：本题考查利用排列组合知识解决实际问题的能力，计算量不大，但知识与方法的含量高，是排列组合部分一道典型的复习题。 许多学生对“先从有限制条件的元素入手，分类讨论求解。”理解不深，解题方法掌握还欠熟练。
　　四道填空题比较常规，考查数学基础知识和基本运算能力，学生得分率较好。
　　三、解答题
　　第17题：本试题以社会热点素材为背景，联系实际，形式新颖。考查学生运用正、余弦定理分析解决实际问题的能力，解题时，学生必须通过把实际问题抽象成数学模型，再运用正、余弦定理求解。但部分学生由于知识的遗忘导致出错，对“方位角”不清楚，各种信息转化的能力不够，概念模糊，导致失分。
　　第18题：本试题为“概率与统计”的实际应用题，试题从学生的现实实际出发，好理解，得分率较高。但有相当一部分学生运算能力较差，分布列都做对了，粗心大意，算错了数学期望。由于审题不慎导致出错的学生就更多。
　　第19题：本试题为立体几何的综合题，既可用传统的解法，也可用空间向量的方法。综合考查了线线关系，线面关系及直线与平面所成的角。这些都是立体几何中的重点与难点，也是高考中的热点。部分学生这部分知识欠缺太多，得分不够理想。 解题难点在作辅助线，在这方面许多学生还存在问题。
　　第20题：本试题为数列内容的一道基本题。主要考查学生数学变形、转化及等比数列、数列求和中的裂（拆）项的方法。由于学生对这种类型的题目训练较多，本试题通过率较高。
　　第21题：本试题为解析几何的综合题，以双曲线为载体，结合平面向量，以及分类讨论的数学思想方法考查学生的实际应用数学知识的能力。许多学生或者运算能力较差、或者考虑问题不全面，导致解题失败。
　　第22题：本试题为函数，导数，不等式知识的综合应用，对学生的思维和能力要求很高。以三次函数为载体，结合分类讨论的思想，对函数，导数，不等式的重点内容进行了全面的考查，是一道很好的试题，可以起到压轴题的作用，提高区分度。第一问大部分学生可以做出来，但第二问，第三问能做出来的学生寥寥无几。
　　六道解答题虽然题型比较熟悉，但由于各题设问思路和角度改变，立意新颖，部分学生在解答时思维受阻，显得不够得心应手。还有部分学生在解答时有思路，但不善于表达叙述，书写潦草，随意性较大，失掉了该得到的分数。
　　最后阶段复课建议：
　　1. 明确复习重点，巩固基础知识；各学校要根据考试说明，结合本学校（班级）高三数学复习情况，仍然要进一步巩固基础知识，力争在基础题上不失分。从本次考试看，学生在中等题上得分率仍有较大空间，尤其是在命题略加改变与调整的情况下，许多学生还不能充分应对，象选择题中的第7、9、10、11、12等题，有很多学生就不能正确理解，又如解答题的17、19、20、21题的得分率依然较低，而这些题都是常规问题，因此“常规问题要巩固”是下一阶段复习的重点。
　　2. 科学计划，合理组卷；近阶段，各校均有各地模拟卷，各校要根据自己学生的特点，有的放矢组卷，对重点内容要经常作一定的回顾，温故而知新，对难点问题，要根据学生的接受能力，有效分解，要关注学生的失分点，寻找争分点，使学生在训练中螺旋上升。对于重点问题，要通过适当的反复。有些训练，要视学生掌握的情况而决定其频率与难度。目前单元复习要与综合考试相结合进行。
　　3.讲练得当，注重思想；在复习的最后阶段，因学生的认知能力较前已有一定的飞跃，因此第二、三轮的复习是学生能力提升的关键时期，教师在讲解问题的过程中要注意详略得当，有些问题点到为止，有些问题要求解解到底，给学生一个完整的板书。要加强教学反思，揭示问题的内涵和本质，揭示解决问题的数学思想方法。有些问题要给学生一些规范化、程式化的思路和样板。