强化数学课程中的应用意识

　　事实上，数学课程中强化数学的应用意识早已成为发达国家的共识。而我国目前数学课程中数学应用意识却十分淡薄，与世界数学课程发展的潮流极不合拍。事实上，数学及其应用曾是我国古代最发达的传统科学之一，以实用性、计算性、算法化以及注重模型化方法为特征的中国古代数学处于世界领先地位达千余年之久。但遗憾的是，具有应用功能的传统数学没有被及时纳入教育内容，或引发出必要的数学课程，因此它的发展和成就失去了传播的根基和土壤，随着社会的演变逐渐被人们所丢弃。近代中国经济发展相对落后，

　　数学课程的建设主要是折衷地采用外国的研究成果。在应用方面，由于没有做适合于我们文化背景的贴切转换和补偿，造成应用意识的继续失落。当前，我国数学教材中的习题和考题多半是脱离了实际背景的纯数学题，或者是看不见背景的应用数学题。这样的训练，久而久之，使学生解现成数学题的能力很强，而把实际问题抽象化为数学问题的能力却很弱。面对新世纪的挑战，我们重建的数学课程应该注意将民族的数学应用成果及时纳入教育内容。在课程中及时增加反映在社会发展中的应用知识，并研究培养学生应用能力的对策，从而达到数学课程改革与社会进一步相一致。数学课程中强化“应用”既是一个复杂问题，又是一个长期未能解决好的问题。“应用”在数学教育中有许多解释，有些人为的非现实生活的例子，也可能有重要的教育价值，也可以培养学生应用数学的技能，不能一概否定。还有一类传统的例子是过分“现实”的，如直接从职业中拿出来的簿记、税收；如联系特殊地方工业的“三机一泵”。这就有一个“谁的现实”问题，这些例子只是社会的一些特殊需要，不足取。数学的重要性主要不在于这样的“应用”，它不可能总是结合学生的“现实”。正如卡尔松（Ｃａｒｓｏｎ）所言：“现实是主体和时间的函数，对我是现实的，对别人未必是现实的；在我儿时是现实的，现在不一定再是现实的了”。

　　前面说的都是“现实”例子用来为数学教学服务，当数学用来为现实服务时，即当我们用数学解决问题时，情况就完全不同了，它是用数学去描述、理解和解决学生熟悉的现实问题。这种问题不仅有社会意义，而且不局限于单一的教学，还要用到学生多方面的知识，在这方面英国数学课程设计中的课程交叉值得我们学习借鉴。所谓课程交叉就是在某学科教学过程中，突出该学科与现实生活以及其它学科的联系。英国的数学课程交叉主要表现为：从现实生活题材中引入数学；加强数学与其它科目的联系；打破传统格局和学制限制，允许在数学课程中研究与数学有关的其它问题等。

　　数学课程中强化“应用”意识，落实到具体，必须在教材、教学、考试等方面都要增加用数学的意识。用数学的什么呢？可分为如下三个层次：

　　用结论 用数学的现成公式，这是最低层次，人们最容易看到的地方。

　　用方法 如方程的方法、图表的方法、分析与综合逻辑推理的方法等。

　　用思想 研讨问题的一般过程，观察、分析、试验；从需要与可能两个方面考虑问题；逐步逼进；分类与归一；找特点、抓关键；从定性到定量等。通过用数学，学生才能理解知识、掌握知识；通过用数学，才能训练学生的思维。

　　值得指出的是，与课程中强化数学的应用意识相关的一个问题就是允许非形式化。首先，应恰当掌握数学理论形式化的水平，加强对理论实质的阐述。我们非常赞同“允许非形式化”的观点，“不要把生动活泼的观念淹没在形式演绎的海洋里”，“非形式化的数学也是数学”。数学课程要从实际出发，从问题出发，开展知识的讲述，最后落实到应用。例如，极限概念可以在小学圆面积公式、初中平面几何中圆周率的近似值的求法、高中代数等比数列求和等处逐步孕伏，在学微积分时正式引入。只要不在形式化上过分要求，学生是不难接受并能加以运用的。其次，应恰当掌握对公式推导、恒等变形及计算的要求。随着计算机的普及，二十一世纪对手工计算的要求大大降低。从增强用数学的意识讲，也应降低对公式推导与恒等变形的要求，否则没有时间来讲应用。要充分利用几何直观，形象地加以说明。否则应用的重点难以突出，生动活泼的思维会淹没在繁难的计算和公式推导中，“增强用数学的意识”就会落空，学生思维水平也不会提高，新内容的引入将障碍重重。

　　在此笔者要强调的是，要使数学课程中应用意识的增强落到实处，一个重要的举措就是数学课程应对数学建模必须给予极大的关注。数学模型是为了一定的目的对现实原型作抽象、简化后所得的数学结构，它是使用数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型简化的本质的描述。而对现实事物具体进行构造数学模型的过程称为数学建模。也就是说，数学建模一般应理解为问题解决的一个侧面、一个类型。它解决的是一些非常实际的问题，要求学生能把实际问题归纳（或抽象）成数学模型（诸如方程、不等式等）加以解决。从数学的角度出发，数学建模是对所需研究的问题作一个模拟，舍去无关因素，保留其数学关系以形成某种数学结构。从更广泛的意义上讲，建模则是一种技术、一种方法、一种观念。

　　数学课程内容应是数学科学内容的“教育投影”，数学应用范围的不断扩大，迫切要求数学课程作出反应。人们发现，这些应用都有一个共同点，就是把非数学问题抽象成数学问题，借助于数学方法获得解决。因此，数学模型作为一门课程首先在一些大学数学系里被提倡。后来，人们又发现，传统的中小学数学课本中的应用仅仅是：把日常生活中的经济、商业、贸易和手工业中的问题用一定程序表达，内容只涉及计数、四则运算和测量等。这种应用无论是方式还是内容，与数学在现实生活中的应用相比，相差甚远。于是数学建模作为一种教学方式在中小学受到重视，通过“做数学”达到“学数学”的目的。

　　目前从整个范围来看，世界各国课程标准都要求在各年级水平或多或少地含有数学建模内容，但各国的具体做法又存在着很大差异，主要有以下几种。

　　（１）两分法 数学课程方案由两部分构成。前一部分主要处理纯数学内容；后一部分处理的是与前一部分纯数学内容相关的应用和数学建模，它有时是现成模型结果的应用，有时是整个建模过程。这种做法可简单地表示为：数学内容的学习→数学应用和建模。

　　（２）多分法 整个教学可由很多小单元组成，每个单元做法类似于“两分法”。

　　（３）混合法 在这种做法里，新的数学概念和理论的形成与数学建模活动被设计在一起相互作用。这种做法可表示为：问题情景的呈现→数学内容的学习→问题情景的解决→新的问题情景呈现→新的数学内容的学习→这个新的问题被解决→……

　　（４）课程内并入法 在这种做法里，一个问题首先被呈现，随后与这问题有关的数学内容被探索和发展，直至问题被解决。这种做法要注意的是，所呈现问题必须要与数学内容有关并容易处理。

　　（５）课程间并入法 这种做法类似第（４）种，但又不完全相同，主要因为所呈现问题的解决所需要的知识未必主要是数学知识，可能是其它科目知识，数学已与其它科目融合成一体，不再单独成一科。显然，这种做法就是“跨学科设计教学法”。

　　上述做法孰优孰劣？一般很难直接评判，只能据不同的情况采取不同的做法。现在有一种愿望：在中小学引进跨学科的、以社会为基础的设计工作，在这种设计工作中，学生会看到数学如何才能够应用到真正的“现实生活”问题上去。并且可望获得进一步学习的动力，会自然也产生建立“数学模型”的机会，实际上关于数学建模的学习包括了各种水平的活动。现在有必要研究许多模型，明确“数学模型化”的确切意图。二十世纪的一个重大挑战不仅是提供在学校能够学的应用的实例，而且是更深入地研究各种类型应用的教育目的和正确性，所以学生如何应用数学必定是二十一世纪的一个主要目标。