数学知识的特征与学习方式的有效选择

　　新课程强调自主、合作、探究等学习方式，有利于培养学生的创新精神和实践能力。但是，仅有这种学习方式是不够的，因为数学知识有不同的特征。本文主要论述数学知识的特征，进而阐述不同特征的知识需要选择不同的学习方式：有的宜选择接受学习方式，有的宜选择探究学习方式。这里的接受学习有两层含义：一是指有的内容不易探究、发现，需要教师在课堂教学中加以呈现；二是指学生对于有的内容的理解有限，在不能完全理解的情况下，要先接受下来，进行相应的训练，并在以后的学习中再逐步加深理解。

　　一  数学知识的特征

　　数学是关于数和形的科学，它与物理学、化学、生物学等学科不同，并不以客观世界的具体物质运动形态为研究对象。“数”和“形”都抽象地存在于人的理性思维世界。从根本上说，数学对象来源于现实世界，是具体事物的抽象。但是，有许多数学知识，则显示出超验性、合情性或程序性。这些特征，对数学教学具有特殊的要求。

　　1  知识的超验性和经验性

　　数是抽象的产物。“我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校里学习的是抽象的乘法表，而不是男孩的数目乘以苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱……同样在几何中研究的，例如，是直线，而不是拉紧了的绳子。”[1]数学的研究对象，是人们对现实世界抽象的结果，甚至是对抽象的对象进一步抽象的结果。正因为如此，数学才有今天的蓬勃发展。因而，数学的研究对象与日常生活经验就有了远近之别：有的与学生的生活和知识经验较为接近，他们可以在自己的经验基础上探究并建构起这些数学知识，这些知识具有经验性；有的是人类理性思维的结晶，远离学生的生活和知识经验，学生很难通过自己的经验探究、发现这些数学知识，这些知识具有超验性。

　　人们没有见过自然数“1”，只见过一头牛、一只羊。自然数、分数、小数可以通过一些表征物来表示，较为直观，而负数就不直观了。无理数较为抽象，也很难找到一个具体事物作为原型。即便是最精确的尺子，也很难把无理数量出来。无理数是人类长期探索的结晶，是人类理性思维的结果。无理数是无限不循环的小数。人们对于“无限”难以把握，对于什么是“不循环”更不能直接感受，也没法说清楚。在中学，通常是用反证法来证明 是一个无理数。从直观的角度来看，这个证明并没有给我们提供具体的信息。因而，学生很难靠自己的经验来建构无理数这个概念。如果说可以把 看作边长为1的单位正方形对角线的长，那么，对π、e如何理解呢？难怪有中学生提出这样的问题：圆周率π是否可能以某个特别长的数作循环节而成为循环小数？代数式更加抽象，离我们的经验也就更远。对于数的运算而言，自然数的运算法则较为直观；小数和分数的运算法则介于具体与抽象之间；实数与代数式的运算法则超越了我们的经验，只能由自然数、有理数的运算法则迁移过来。总之，像无理数、虚数这样一些数学知识，学生不可能用自己的经验“探究”出来。为此，我们可以把这些知识直接告诉学生，让他们接受下来，然后让学生通过自己的理性思维逐步地加以消化、理解。

　　数学知识并不都具有超验性，大量的数学知识具有经验性。例如，田地的面积用“亩”丈量，用分数表示“部分”的大小，用数据描述一个“事件”发生的概率等，都是一些很具体且可以通过经验来获得的数学知识。这些知识都具有经验性，学生可以通过自主活动、积极思考、主动探究来建构。

　　2  知识的合情性和演绎性

　　数学知识的获得，需要经过严格的演绎证明。只有经过严格演绎证明的结论，才能称为数学知识，也才是可以接受的。数学知识的可证明性亦可称为演绎性。数学知识的获得，往往要经过不完全归纳、试验、猜测等探索与合情推理的过程。特别是在中小学，由于学生的认知水平较低，许多结论是通过举例和不完全归纳得到的，是“混而不错”的，因而数学知识又显示出“合情性”。

　　比如，对于数的运算律的学习。自然数、分数乘法的交换律较为直观，可以通过画图、举例来说明。当然，这种直观的说明具有相当的深刻性。2×3=3×2，3×4=4×3，让学生感受一下，便可得出：a×b=b×a。这只是感受一下，只是一个猜想，而不是自己的发现、创造，也不是证明。有理数乘法的交换律更像一种规定性的东西。规定的合理性源于“运算律的承袭性”。自然数的乘法、分数的乘法、小数的乘法都满足交换律，于是，为了保持运算律的承袭性，有理数的乘法也满足交换律。在实数范围内，由于出现了无理数，想通过例子直观感受一下实数乘法的交换律就较难了。初中数学教材中的处理是一笔带过：在实数范围内，加法、乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律仍然是成立的。

　　陈省身先生曾说：“数学的主要方法是逻辑推理，因之，建立了一个坚固的思想结构。”①如此，中小学数学教学为何不追求严密的逻辑推理呢？如果遵循逻辑推理的要求，就要从匹亚诺公理系统和自然数乘法的定义出发，对自然数乘法的交换律进行证明。而证明实数乘法的交换律需要用到有理数的基本序列、极限等知识。这样的严密逻辑推理，谁能受得了。因而，相对于学生的认知水平，这些知识无需证明，也不可能证明。对于小学生而言，2×3=3×2，举个例子就行了。

　　“符号法则不能证明。人们只关心这个法则在逻辑上是否允许。这些法则是任意的，取决于使用上的方便，例如受承袭性原则的制约。我请求你们一般地不要把不可能的证明讲得似乎成立。大家应该用简单的例子使学生相信，或有可能的话，让他们自己弄清楚。从实际情况看，承袭性原则所包含的这些约定关系，恰好是适当的，因为可以得到一致方便的算法。”[2]

　　正因为如此，举个例子来说明问题，只是为了让学生更好地理解、接受某些知识，充其量只是一种合情推理，并非是证明，也不是探究。教材中的这种处理符合儿童的认知规律，也符合这些知识产生的实际。对教学而言，关键在于如何结合不同年龄阶段学生的特征，依据学生原有的知识基础，进行解释性的阐述。事实上，长期的教学实践也是这样做的，并没有什么不好。

　　既然有些数学知识不可能证明，也不宜证明，在初步理解的基础上，先接受下来，到知识有了一定的积累、认知水平有了一定的提高后，再进行证明，亦是合乎情理的。比如，对几何的学习，开始的时候，可以画一画，量一量，感受一下“三角形的内角和是180°”。这与学生的经验较为贴近，也较为直观。但是，到了初中阶段，必须让学生体会证明的必要性，进而让他们学习演绎证明。否则，学生就只会停留在“测一测，量一量”的状态。随着学习的深入，学生能够用逻辑的方法加以证明，这亦是学习数学的基本要求。

　　合情性是相对于学生的知识水平与心理发展特征而言的。从理论上讲，数学知识完全可以通过严密的演绎来证明。数学的价值就在于证明。因此，对于演绎性的、在学生能力和知识范围内可以证明的数学知识，教师应鼓励、引导、帮助学生去自主探究和发现。

　　3  知识的程序性和对象性

　　J.R.安德森（J.R.Anderson）将知识分为陈述性知识和程序性知识。数学中包含大量的程序性知识，如运算法则、解题方法和解题策略等。即便陈述性知识如代数式、方程、函数等大量数学概念的形成过程一般都要经过活动阶段、过程阶段、对象阶段、图示阶段，因而许多数学概念都具有过程和对象的双重属性。可以说，程序性是数学知识的一个基本属性。知识的程序性要求对某些概念、技能的学习须在初步理解的基础上，进行适度的训练，从而在训练中加深理解，获得技能。

　　掌握一个概念，通常要经历由过程入门，然后转变为认识对象的过程。比如，对于结合律的学习，要先做一些诸如“（7+6）+2=7+（6+2）”的训练，其后，以一个旁观者的身份对先前的操作过程进行思考，正如皮亚杰提出的“反省抽象”，这样便可以得到加法的结合律。“加法、乘法服从交换律，无须去猜想、发现，‘做’就是了。”[3]

　　基本技能的学习需要经历3个阶段，即认知阶段、联系阶段、自动化阶段。训练对于基本技能的形成至关重要。“在帮助学生将基本的技能合成起来时，练习和反馈是两个极重要的因素。因为每一次练习和尝试均给两个潜在的有关联的产生式在工作记忆中同时被激活提供了机会，因而也给他们的合成提供了机会。”[4]如因式分解，学生容易理解什么是因式分解，但遇到具体问题时却不知怎样分解。要会因式分解，就要模仿一些含有一定技能的例题，进行适量的训练，在头脑中形成一些相对固定的解决问题的技能。学生要主动地进行有意义的探究学习，必须具备一定的知识和技能基础。否则，就不能积极主动地参与到探究过程中去。探究中所需要的这些基础知识和技能，主要来自于教学效率较高的接受学习。[5]

　　数学知识除了具有程序性外，还具有对象性或者概念性。亦即，数学知识既可表现为一系列的算法、步骤，又可表现为对象、结构，表现为“有联系的知识网络”[6]。如此，一方面要通过适当的训练，让学生掌握这些算法和技能；另一方面，要把该知识置于知识的网络之中，建立该知识与其他知识的联系，建立对该知识的理解。比如，对于一元二次方程公式解法的学习，学生可以按照把方程化为ax2+bx+c=0的形式、判断△=b2-4ac的大小、带入一元二次方程求根公式求解这样一个程序去练习，通过练习形成一定的技能。但是，求解一元二次方程本质上是按照方程的同解原理，按照“化归”的思想，把一元二次方程转化为一元一次方程来进行的，因而要建立一元二次方程求根公式法与一元一次方程、方程的同解原理、配方法之间的联系。为此，学生首先可以自主探究、发现一元二次方程的求根公式解法，建立知识之间的联系；然后按照一定的步骤进行相应的训练，把探究与训练结合起来。

　　二  数学学习方式的有效选择

　　P.欧内斯特（P.Ernest）曾说，数学教学的问题“并不在于教学的最好的方式是什么，而在于数学是什么。……如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议”[7]。可以说，数学知识的特征影响着学习的特征，影响并决定着学习方式和教学方式的选择：知识特征不同，学习方式各异。

　　l  超验性的知识、合情性的知识和程序性的知识，适于开展接受学习

　　数学中有一些知识是人类长期实践经验和理性思维的结晶，但是，这些知识超出了学生目前的经验；对于学生的实际知识水平而言，这些知识也是不可证明的，不便探究，或者可探究的成分较少，需要先接受下来，再慢慢理解，理解也只能达到一个相对的水平。数学中还有一些程序性的知识，也要先接受下来，然后再进行一定的训练，才能学到手。

　　在义务教育阶段，一些数学知识的特征和学生身心发展的特点决定了接受学习的大量存在。在这个阶段，学生所拥有的知识不能解释目前的困惑，所需的知识又尚未建立起来。这个时候只能把有关的知识先接受下来，并进行相应的训练，在新的知识体系建立起来后，再回过头来进行深入的理解。学习在本质上是一个不断克服困难的过程，数学不是玩儿出来的。“我们并非按照学生喜欢的标准来选择题材。真正的教师会使计算变得有趣。我们不会用糖来宠坏自己的孩子，对吗？当然，我也并非主张味道愈是不好的食物就愈有利于我们的健康。我只是说兴趣是可以培养的。”[8]

　　对于这些知识，虽然是采用接受学习方式来掌握，但由于我国教师在长期的教学实践中积累了丰富的教学经验，如创设有意义的学习情景，开展启发式教学和变式教学，设置适当的铺垫等，因而建立了“以符号代表的新观念与学生认知结构中原有的适当的观念之间实质性和非人为性的联系”[9]。正因如此，这种接受学习大部分都成为有意义的接受学习。然而，如果教学策略不当，也容易导致机械的接受学习，这是应当避免的

　　2  经验性的知识、演绎性的知识和对象性的知识，适于开展探究学习

　　探究学习有利于培养学生的再创造能力和创新能力。从数学角度来说，只有经过证明的结论才是可以接受的，经过证明的探究才是有意义的，因而应该针对经验性的知识、演绎性的知识和对象性的知识开展探究学习。然而，上述超验性的知识、合情性的知识和程序性的知识不宜探究，即便是适于探究的知识，由于时间、物质条件的限制或是教学进度的需要，也没有必要都进行探究。如果所有事都从头做的话，那么别的什么也干不成。当我们提倡探究学习的时候，也应该看到探究学习的局限性。

　　知识特征不同，学习方式各异。评价某种学习方式的优劣，要放到具体的知识背景中去衡量。某种学习方式只对某类知识最为有效，就是这个道理。

　　基于数学知识的特征，我们阐述了对接受学习、探究学习有效选择的问题。事实上，影响学习方式选择的因素很多，除了知识的特征外，还包括学生的特征（认知发展水平、认知结构、认知风格、情感情绪）、教师的特征（教学风格、学科知识、教学能力、人格品质）和社会的特征 （政治、经济、文化、教育体制）等。因此，在选择学习方式时，要综合考虑上述各种因素，视具体情况而定。唯有如此，才能实现对接受学习和探究学习的有效选择。