培养和发展学生的数学思维能力

　　数学概念是数学思维的基本元素。小学生的心理特征决定了他们获得数学概念的主要方式是概念形成而非概念同化。本文以培养和发展学生的数学思维能力及探究发现能力为着眼点，揭示概念形成的规律，对小学数学概念形成提出以下教学策略。

　　一、充实感知，丰富表象

　　概念形成的一个显著特征，就是从具体的实例出发，经过分析、比较，再抽象概括出概念的本质属性，是一个由实践到认识、从感性到理性的过程。因此，小学数学概念形成的首要环节就是要让学生直接感知能揭示概念的实例，让概念在学生头脑中形成丰富的表象。如在形成“%”这一数的概念时，教师就应引导学生观察教科书上的插图------1个女同学坐着1把椅子，手拿1枝铅笔，把1本作业本放在1张书桌上写字，书前还放着1个文具盒，还有下面的1只小鹿、1枝粉笔、1个珠子。当然也可引导学生观察具有同一共同特征的其他生活实例，使这些实例在学生大脑中建立起丰富的记忆表象，形成对“1”的感受。又如在形成“长方体”这一几何形体的概念时，应让学生观察和动手摸一摸字典、粉笔盒、肥皂等具有“长方体”形体特征的实物的面、棱，数一数面的个数、棱的条数，比较一下同一个形体两个面之间的形状大小关系以及两条棱的长短关系。通过感知，学生头脑中就会形成这些实物形体特征（长方体）的表象。这种实例感知越充分，对概念的理解就越深刻、越清晰。

　　二、分析属性，找出本质

　　在对实例的感知过程中，实例的各种属性（本质属性和非本质属性）都将刺激学生的感官，作用于学生的大脑，使学生对单个实例的认知带有综合性，而对一组实例的认知又带有孤立性，缺乏明确的揭示概念的目标性。因此，在学生感知实例并有了丰富表象的基础上，就必须引导学生对这些实例的主要属性进行分析，再通过单个实例间属性的相互比较，找出能揭示数学概念的本质属性。在上述形成数概念“1”和几何形体概念“长方体”这两个例子中，本环节就应该引导学生先分析每组实例中各个实例的属性，如椅子的材料为铁和木料，颜色为橘黄的座背、草绿的腿，数量为“1”等属性。同样，让学生讨论分析图中的女同学、书桌、铅笔、作业本、文具盒、小鹿、粉笔、珠子等每个实例的属性，使学生进一步认识实例中物体的材料、颜色等都是数学的非本质属性，找到只有“数量”这种数学的本质属性。用同样的方法分析比较字典、粉笔盒、肥皂这组实例的属性，使学生认识各自的颜色、硬度、轻重等数学的非本质属性，找出只有“形状”这种数学的本质属性。

　　三、概括共性，揭示内涵

　　抽象概括是形成概念过程中的一次认识飞跃，是从感性上升到理性的关键环节。如上例中，数“1”的认识和“长方体”的认识，在学生认识了一组实例各自的属性，并了解实例中数学的本质属性和非本质属性后，教师就应迅速引导学生进行抽象概括，以揭示概念的内涵。第一组实例抽象概括出其数量都是“1”这一共同本质属性，形成数概念“1”，即在学生大脑中形成凡物体数量和这里的“椅子、书桌”等同样多便是“1”的概念；第二组实例抽象概括出其形状都是“长方体”这一本质属性，形成几何概念“长方体”，也就是在学生大脑中形成凡物体的形状像“粉笔盒、肥皂”等有“个面，并且相对的面都是相等的长方形（或一组为正方形）的形体就是”长方体“。

　　在初步形成概念时，为了揭示概念的本质，一般要给概念下定义，让学生通过理解定义来掌握概念的内涵。如分数、偶数、奇数等数的概念，加法、减法等运算概念，平行线、角等几何概念，都应下抽象定义，但一些初级原始概念，如数概念”！“，则不便下抽象定义，只可下操作定义，通过强化的方法逐步加深学生对概念的理解。

　　学生形成数学概念，获得对概念全面而准确的认识，不是一蹴而就的，而是一个逐步提纯的过程。学生在形成概念的初期，其认识往往有一定的局限性。打破这种局限性，使学生获得对概念全面而准确的认识，最有效的提纯途径，就是引导学生作真假概念的判断，其方式有以下两种：

　　1.保持概念的本质属性不变，变异某些非本质属性，克服概念的狭义化。比如，在数概念1刚形成时，学生会受实例中都是指某一单个物体的片面影响而误认为”1“只能是单个物体的数量，如1只鸡、1架飞机、1朵花等，把这个概念的外延缩小了。针对此问题，教师在教学中可以改变所指事物的性质类别这些非本质属性，如把实例中的！个或！张，改为份数的！份或长度上的1段等，让学生分析判断，使他们认识到数”1“不仅可以指！个物体，还可以指”1个整体“、”1个长度单位“等，逐步使”1“的概念从与具体事物的结合中分离出来，获得完全抽象意义上的数”1“的认识。

　　2.变异概念的本质属性，保持非本质属性不变，克服概念的泛化。有的数学概念，其内涵的限制条件较多，学生在感知实例形成这类概念时，未必能全面揭示内涵的所有限制条件。这样，常导致学生认识数学概念时外延过宽。比如，”整除“这一概念是在”有余数的除法“这一教学内容中来形成的。学生所感知的实例虽然具备了整数除以非零整数、商为整数而无余数的整除条件，但由于此时学生尚未学习小数，因此，他们将更多地注意”没有余数“这一特征，而对商、被除数和除数必须是整数的特征有所忽略，产生”整除“就是”除尽“的概念泛化。为克服”整除“概念的泛化，就必须在学了小数除法后，作如2除以5等于0.4之类的变式，让学生判断，2能否被5整除，2.5能否被5整除？这样才能使学生全面注意”整除“这一概念的内涵包含的所有条件，获得对整除这个概念全面完整的认识。

　　数学概念高度抽象，却又总是深深地扎根于客观世界。从感知实例出发，利用学生已有生活经验，通过分析比较、抽象概括、变式判断等从感性到理性的策略，使学生形成数学概念，既有利于发展他们的数学思维，也能有效地培养他们从事实中发现规律的探究能力。