小学数学估算教学中的问题与对策研究

　　夏敬球

　　【摘要】小学数学计算教学过程中要提倡培养学生的估算意识。本文试图从学生的估算意识非常薄弱、学生的估算技能比较欠缺、教师数学教学理念的更新三个问题入手，积累平时教学的经验，从关于教学情境、约等于、教材系统三个方面进行阐述，并给出一定的对策，并且强调估算教学的核心是提升学生的估算意识。

　　【关键词】估算意识；教学环境；教材系统；

　　一、估算教学的价值和内涵

　　（一）估算教学的价值

　　1、估算在日常生活中有着广泛的应用。

　　估算是对运算过程和运算结果进行粗略估计的一种能力。在生活中离不开估算，去菜市场买菜、和朋友们约定一个时间……，这些都在用着估算，如果将一个人在日常生活当中精确计算的机会和粗略估计的机会进行比较发现，我们会发现后者用的要多得多。

　　2、估算为判断计算器、口算和笔算结果是否合理提供了依据。

　　如果学生有了估算的意识和能力，就能很快发现计算器计算的结果其取值范围是否合理。过去我们要用加减法的互逆关系和乘除法的互逆关系来验算，现在用估算的方法就可以解决了，而且估算的方法比验算的方法快些。

　　3、估算有利于人们事先把握运算结果的范围，是发展学生数感的重要途径。

　　《数学课程标准（实验稿）》在发展学生的数感方面明确指出：能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。估算是发展学生数感的有效途径之一，在估算中，需要事先依据所给条件对结果直觉地、大致地作出取值范围的正确判断，这是对数量大小、各数量关系的一种感知与思维处理过程，长此以往，对发展数感极有好处，无论是计算前估算还是计算后估算，对培养孩子的快速判断和推理能力也有一定好处，计算过程中饱含着逻辑推理，我们应高度重视精算与估算中逻辑推理能力的培养。

　　4、估算对学生后续的数学学习有重要作用。

　　估算意识是数学的基本思想，通常我们叫近似或者逼近。在数学的计算中，常常需要用近似、用估计来解决问题，并且这个估计结果符合我们的实际需要。

　　（二）估算的教学的内涵

　　估算的“教”指向的是教师，指的是教师如何将估算的技能教给学生，并且在日常学习中能够自觉地的去“估”；估算的“学”指向的是学生，指的是学生接受数学教育的过程中，能主动在自己原有的知识水平对估算敏感起来，通过一些估算的方法，去掌握估算的技能并且能形成比较主动的估算意识。

　　估算对日常生活、测量中无法或没有必要进行精确计算或判断时所采取的计算方法。估算教学

　　是在师生在课堂教学中，共同学习这种计算方法的教学过程。

　　《义务教育阶段国家数学课程标准（实验稿）》对估算的要求提出了明确的落实点，在第一学段提出：“结合现实素材感受大数的意义，并能进行估计。”“能结合具体情境进行估算，并能进行估计。”“能结合具体情境进行估算并解释估算的过程”。在第二学段“教学建议”中指出：“估算在日常生活与数学学习中有着十分广泛的应用，培养学生的估算意识，发展学生的估算能力，让学生拥有良好的数感，具有重要的价值。”

　　《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用修订本）》中也提出在各年级应适当加强估算，在“重视发展智力、培养能力”中提出要重视培养学生的估算习惯和能力。并把原选学的估算内容作为必学内容。这无疑会对估算教学产生深远的影响，能使估算走上正规化、正常化，在它引领下，教材也会逐步的系统、明确、合理起来。

　　二、估算教学中存在的问题

　　估算在实际生活中有着广泛的用途，加强估算是现代社会发展的必然趋势，在学习中让学生感悟到估算的必要性就显得格外重要。然而在各种类型的公开课中，估算教学很少在数学教学中“登台亮相”，估算似乎成了被遗忘的角落，这与新课标倡导的强调估算教学大相径庭。

　　在具体操作层面上，用等于号还是用约等于号，这是困扰着小学生有关估算学习的问题，估算已成为小学数学教学中令人关注的热点，但是在成为热点的背后，显得有些混乱，在平时的教学行为中，我们只是将估算停留在嘴上，当题目的要求中出现要求学生估算的时候我们才会去关注这个问题，否则教师和学生都很少关注；而在平时的教学中，估算的用处是很广的，在数学学习过程中怎样能够让学生对估算敏感起来？学生的估算意识如何培养？

　　我在教学这部分内容时候发现主要有以下三个问题值得商榷：

　　1、教师数学教学理念的更新。

　　2、学生的估算意识非常薄弱；

　　3、学生的估算技能比较欠缺；

　　三、解决估算教学中存在问题的对策

　　（一）关于教学理念

　　本对策是用来解决学生估算意识的对策，通过真实的情境让学生唤起数学估算学习的真实体验，体会到估算的学习是很必要的，用以培养学生的估算意识。在估算教学中，首先教给学生的是估算的意识，教师在教学理念上需要更新：必须认识到估算为判断计算器、口算和笔算结果是否合理提供了依据，有利于人们事先把握运算结果的范围，是发展学生数感的重要途径。

　　江苏省特级教师、建邺区教师进修学校教研员王凌老师在和人民教育记者余慧娟对话中，提到了“教学活动中的环境相关性”的问题。在现行的苏教版教材中，计算教学需依赖于数学情境展开，纵观小学四年级上册数学教材，第一单元除法中给出的是“图书馆”的情境，“打包”、“分书”、“看书”、“借书”的情境图穿插其中，给孩子生活化的数学，于是我们便在一种“生活情境”中开始了计算教学的展开。

　　但是，经过教学我发现，学生对这些情境似乎不是很“买账”。在一次和学生的闲聊中，学生告诉我，在金陵图书馆，管理员分书都是用的估算，每几十本打一包，然后打几包，根本就不用去算，只需要在打包之后数一数就行了……；学生还告诉我，现在还用分书、打包的方法有点过时了，都是条形码一刷，就能清楚地知道是哪一本书。

　　我在学生们七嘴八舌地讨论中思考着，计算教学的“教学环境”到底该怎样去创设，才能符合孩子们的需要；我还在思考，数学课程标准提倡要培养孩子的估算意识，计算教学需要一定的生活情境，而估算教学需要的则是很真实的生活环境，而我们现在的教学有点脱离了生活环境谈估算的倾向，真正意义地生活情境也许不会出现在教材上，不会出现在试卷上，只会出现在我们的生活中。

　　下面的案例能比较清楚的说明估算意识的体现。

　　案例一：生活中的估算。地点：某超市的购物柜台前；

　　数学信息：1、金龙鱼浓香花生油5升装119.5元/桶；2、妈妈的钱包里全是100元的人民币；

　　任务分解：中秋节到了，妈妈要去看长辈，一共是7家，妈妈觉得在油价上涨的现在，买点食用油是最实在的，于是妈妈准备买8瓶金龙鱼浓香花生油5升装，自己家也带一桶；

　　数学问题：妈妈需要付多少钱？

　　这个生活环境归结为数学模型，就是金龙鱼食用油119.5元/桶，妈妈准备买8桶，需要付多少钱？

　　很显然，在这个情境中，数学解法很明显是：119.5×8=？，而这牵涉到小数的乘法，四年级的学生很明显无力解决这个问题。然而在实际生活中，大人们也不会拿出纸笔或者是计算器来计算119.5×8等于多少的。

　　大人们常用的步骤是：⑴把119.5元看成120元，⑵用120×8，口算12×8=96，得出要960元，⑶从钱包中拿出10张百元大钞，想我多付了40元；⑷计算应该找我多少钱？一桶多算5角钱（口头语为五毛），8桶就是四元钱（四块钱），加上我多付的40元，应该找我44元，最后成交。

　　这个案例说明了估算的目的是为了生活中的“交易”更加地迅速、快捷，一笔生意、每一桩买卖都需要用到简单的估算，而估算的本领也是随着年龄的不断增长而逐渐形成的，这则案例中的环境是纯粹的生活环境，很朴实、很自然、很贴切，完全是一笔经济账，学生在面对这个问题的时是需要建立一种“估算意识”的，有了这种意识才会向案例中所描述的方向探索。

　　案例二：生活环境是菜市场卖猪肉。猪肉的价格是23元一斤，妈妈准备买2斤猪肉，需要付多少钱？

　　这样的案例其实已经能够口算了，直接用23×2=46元，而这样的生活环境和“数学情境”也未必完全一致，如果单价再上涨五角钱，口算就不准确了，需要用到估算。

　　事实上我们的应用题虽然取材于生活，但是在编题的过程中，舍弃了众多生活信息，只保留了数学信息，并且开放度不够，本身也很难做到“真正联系实际”。但是我们可以在承认学生答案合理性的基础上，增加某些数学问题答案的开放度，以使数学课堂和现实生活尽量建立联系。

　　估算的教学是和日常生活中的“经济观念”直接联系的，从这个角度上说，估算教学的终极目的必须指向“培养学生的经济头脑”，也就是说是培养学生的“估算意识”并且将这种估算意识得到应用，这样可以将书本上数学的数学知识应用于生活实际中。

　　解决对策：

　　我们的教学要围绕着教给学生“估算意识”展开，在本文中，估算意识指的小学生对估算的主观能动性，是他们自己对估算事件的觉知状态，用估算的主观能动性是小学生估算意识的具体体现。

　　从这个意义上说数学“教学情境”也就需要减少人为地设定了某些“标准答案”，导致课堂中的答案与实际生活的答案存在出入，上面的两个案例都可以看出来，这些场景的发生不可能在数学课堂上出现，这样的限制导致了我们在课堂教学中，很难将情境用好，学生无法再学习中体会到情境的必要，往往都是情境图一带而过，问题一问，学生一答，则讨论的重点转向对算理、方法的讨论。

　　估算为判断计算器、口算和笔算结果是否合理提供了依据，有利于人们事先把握运算结果的范围，是发展学生数感的重要途径。教给学生意识所用的最好的方法就是情境，我们需要一个良好的、真实的“教学情境”，而情境的设置是和教师的教学理念分不开的，最近比较流行的山东杜郎口中学的经验，南京市竹山中学的鞠爱华老师在尝试中获得了成功，这则文章给了我很大的启示。我为何不能在班级也进行一次“杜郎口”式的尝试？

　　可以在教学中将生活场景由图上的“静态出示”改为角色扮演：我们可以在班级选择学生进行不同的角色扮演，一位同学扮演图书馆老师的角色，其他的同学扮演小读者，在课堂上来这么一段情景短剧表演，对白就是分配图书时面临的数学问题，然后从中提炼出数学模型。

　　将这个分书的过程更加详细点，还原它在生活的真实性，给学生一个动态的情境，让学生们知道，数学估算的学习是很有必要的，能解决生活中的实际问题，用以唤起学生的学习兴趣，激发学生的学习经验，体会到数学估算的“真实性”。体会到估算在现实生活中的确是能用到的，而且用处很多，笔者想这样的教学方式也许会对学生认知有一个良性刺激。

　　本对策主要是对教师的教学理念进行了理性的阐述，我们需要比较先进的教学理念，教师需要设置较为真实的教学情境，让学生在“真情境”中学习，情境是一座桥梁，我们需要把这座桥建造好，而不是把桥建造好就把桥拆了，也就是说，情境的设置需要有一定的实际价值，这样学生的估算意识才有可能得到很好的发展。

　　（二）关于“约等于”

　　本对策是用来解决学生估算学习过程中数学技能和方法的困难的，我认为小学生常用的估算技能有：四舍五入法、进一法、去尾法。我在教学中发现在数学估算学习中，学生常见的错误有二：第一看见大约就一定写上约等于；第二在估算的时候常常是先计算在用四舍五入法去估算。

　　误区一：看见“大约”就一定需要用约等于吗？

　　在日常教学中，我们常常会遇到这样的问题：一辆小汽车的速度大约是72千米/时，按照这样的速度行驶5个小时大约能行多少千米？行719千米大约需要几个小时？这儿的两个问题中都有“大约”这个词，这是一道小学四年级的数学题，在刚刚学习三位数除以两位数之后出现的，学生对于第一个问题的解答是72×5≈360（千米），第二个问题的解答是719÷72=9（时）……71（千米），9+1=10（时）。

　　问及原因，学生在思考之后，课堂上出现了如下的对白：

　　案例三：

　　师：哪位同学能说说看，第一个算式为什么要用72×5？

　　生：因为72表示的是速度，5表示的时间，根据速度×时间=路程，得到72×5。

　　师：很好，真不错。但是这儿为什么要用“约等于”，你能说说看吗？

　　生：因为题目中告诉我，一辆小汽车的速度大约是72千米/时，速度是不准确的，所以得到的路程也是不准确的，要用约等于。

　　师：哦，老师明白了，你是看到了大约这两个词，是吗？

　　生：是的。

　　师：那第二个问题求的也是大约，你为什么却要用等于来连接呢？

　　生：因为用路程÷速度=时间，719÷72等于9还余71，表示已经行了9小时，但是还有71千米没有行，假如把这71千米走完的话，至少还需要1小时，所以我用9+1=10。

　　面对班级比较优秀的孩子给出这样“完美”地回答，我实在不知道该如何评价，在引导学生一番讨论之后，我们共同得出如下“结论”：因为前一个问题中在计算中没出现大约的数，所以用等于号；在后一个问题中，因为牵涉到没有整除（有余数除不尽）的情况，所以写成719÷72≈10（时）

　　解决对策：

　　本对策主要是解决学生看见“大约”就习惯用约等于的问题。解决这个问题我们需要引入“离散量和连续量”的概念：像人数、课桌椅数这些量是离散量，它们与自然数对应，都有精确的数值，课桌、人数、足球数都至少是一个，不可能存在大约，它们的数量都可以是精确数；人的身高、体重、温度、时间、距离、平均速度、正方形对角线的长度等这些都是是连续量，通过测量或计算得出，与正实数对应，现实世界里的所有测量数据都是近似数。

　　现在有这么一句话：夏老师身高175厘米，体重54千克。这句话的理解是多样的：可以认为？夏老师身高约175厘米，体重约54千克；？夏老师身高恰好175厘米，体重恰好54千克。

　　这两种表述在理解上没有任何区别，虽然身高体重有一个准确值，但是不可能无误差地测出，我们都知道准确是相对的，误差是绝对的。人的身高和体重是通过工具测量出来的，是属于连续量。

　　所以根据这样的理解，我觉得在本案例中的问题，第一问的回答可以用“大约”，也可以不用“大约”，所表示的意义没有区别。在教孩子计算格式的时候，要用所给的数据直接处理，在处理得数的时候，如果是因为计算带来的数据不准确需要用约等于，如果因为“连续量”所造成不准确，则不需要用约等于。

　　我们需要花一定的时间来解决孩子“估算意识”的问题，这需要教师在课堂上安排一定的课时来解决“近似数”和“精确数”判别的例子，这样的例子的来源最好是“纯生活”的例子，能让学生在一种很亲切的体验中去理解“估算”的意义，从而达到培养学生估算意识的作用。

　　在强化估算意识之后，教师需要做的是在很多题目中让孩子去选择哪些需要用到“估算”，而哪些不需要，主要目的是培养孩子的“甄别”意识，在很多例子之中去选择，达到巩固的作用。培养学生的责任心，是数学教育的一个重要标准，教师眼中要有学生，要教给学生适应社会的能力，估算教学是一个很好的途径。

　　误区二：估算的时候学生为什么会先算再估？

　　翻开苏教版小学苏教版教材，生活中的估算没有在书本上出现过，书本上出现的估算无一例外的都是和计算教学相联系，都是为了计算而教估算，带来的直接后果就是当老师要求估算时，学生的“标准”（虽然老师从来没有说过这样的标准）就是估算时离准确答案越接近，就说明估算的越准确，而家长在辅导孩子的时始终弄不明白：“为什么能得出准确值的题还要我们估算”？

　　我在纠正学生这个错误观念的时候感到很吃力，请看这样一则案例：

　　案例四：请先估算，再计算。

　　124×3=85×5=128÷3=

　　有的学生是这样估算的，她先把124×3计算出来，得到372,然后运用四舍五入法精确到十位，是370.下面的两道题也是这样估算的。

　　题目要求估算的目的很明显，是为了凸显计算过程中某一个关键性步骤。但是在实际操作的时候，我发现，没有一个准确的标准（不是数学标准，也不是生活中的标准），这样的估算实在有些无厘头，让老师和学生感到无所适从。

　　教师在对学生进行这种题型的训练时面临一个很尴尬的问题，孩子似乎不愿意按照这样的“套路”来。于是就分析了原因，发现：在学生的脑海中没有出现这种“意识”，学生从小接触的数字都是“准确数”而不是“近似数”，突然间出现这样的题对学生而言确实有点难。

　　在学生脑中对这个信息的解读是这样的模块：计算——四舍五入——估算。数字出现的顺序是先准确后近似，这样的情况和学生接受准确数和近似数的顺序是一致的：准确数在前，而且接触的时间很长；近似数在后，而且接触的时间较短。带来这样的错误可以理解。

　　那么该怎样解决这个问题呢？

　　解决对策：

　　本对策主要是解决在估算过程中学生先算再估的问题。我们采用下面的步骤：

　　1、给学生一定的情境，让学生知道类似124×3=？这样的估计会在什么时候出现。可以设计这样的问题：商场里羽绒衣大降价，丫丫牌羽绒衣124元一件，妈妈要买三件，不计算，你能估计出妈妈需要带多少钱吗？在解决的时候可以设置这样的环节：

　　一、求妈妈要花多少钱就是求什么？（学生回答就是求3个124是多少）；

　　二、你会列式吗？（学生回答124×3=）；

　　三、探寻估算的方法，学生自主去探究，在汇总的时候明确，？把124大约是一百多，一百多乘以三是三百多，这时候是回答几百多的；？如果要求回答是几百几十多，则就要这样处理：把124堪称一百二十多，一百二十多乘以三是三百六十多。

　　四、强化训练，在课堂上给学生说的机会，规范学生的语言，形成“吟诵”式的文字，以后学生遇到这样的情况都可以这样去说。

　　当然，学生中出现其他的估计方法，只要合理都是合理的，教师所作的工作则是让学生们去甄别哪种方法你最喜欢，然后把这种方法进行推广而已，不存在强制学生用某种方法的情形。

　　2、在学生多次解决这种情况之后，教师对于精确数和近似数进行一定的区别，通过一定的语境，让学生去理解哪些情况是需要用到准确值的，哪些情况是需要用到近似值的。这个是属于估算技能的培养，同时要让学生明白：300X2=600这样能直接口算的题目是不需要估算的，学生能正确的甄别出来才是最关键的。

　　学好数学的指标不是会解题，而是会用数学，什么时候该用到估算，什么时候不要用到估算，这是教师所要关注的问题，估算方法的提炼是教师和学生需要共同探究的问题，但是在方法掌握之后，我们在解决实际问题的时候，甄别意识是很重要的，什么时候要估算，什么时候不要估算，能辨别才是学生估算意识形成的标志。

　　（三）关于教材系统

　　本对策主要是上升的教材系统层面的分析，主要的目的是想阐述对中美两国教育专家对数学估算的功能的理解。

　　案例五：美国Houghton Mifflin公司出版的四年级数学书中，就用问题引导学生思考什么时候可以用近似数，什么时候用精确数。

　　问题1：阿姨准备接你和你的朋友去游玩，为了接你的朋友，她需要你朋友的地址，你认为提供一个近似数行吗？

　　问题2：你和三个朋友约好上午10：45在入口处会面，你认为将时间近似到11：00到达好吗？

　　问题3：你想买3个0.5美元的游戏币，还想买2.95美元的三明治，你有5美元，你需要求出精确值才能判断你的钱够不够吗？

　　问题4：只用四舍五入的数，为一个真正的或假设的活动设计一张海报，让你的朋友识别出那些不能提供足够信息的四舍五入的数。

　　问题5：近似数什么时候能提供足够的信息？什么时候需要精确值？你能举例说明吗？美国人的教材，在估算教学之始就明确指出了近似数和精确数的概念，使得学生在具体的情境中理解“近似数”和“准确数”，完成自己的建构，孩子很清晰地知道“估”用在什么时候，“精”又用在什么时候。这样的教材安排恰恰弥补了中国教材的一些不足之处。

　　估算的目的：培养孩子的估算意识，让孩子在具体的“生活情境”中理解什么时候用估算，什么时候不需要用到估算。

　　案例六：江苏教育出版社、凤凰出版传媒集团出版的苏教国标版小学数学四年级（上册）数学书中有关估算的问题：

　　在出示除法420÷30后，茄子老师提出问题：你能估计商大约是多少吗？教材出示了三种不同的估算

　　方法：30×10=300，商比10大；30×20=600，商比20小，得出商在10和20中间。接下去就开始进行竖式的教学。

　　这样安排的目的在于帮助学生理解：被除数前两位上的数42除以除数30，商1，商最高位上的数1写在十位上。教材先要求学生估算“商大约是多少”，这样可以帮助学生体会到商的最高位应该在哪一位上，感悟笔算的顺序。

　　估算的目的：其引入是为了让学生明确“商的最高位应该在哪一位上，感悟笔算的顺序”，属于数学技能的教学。

　　在对比之后，发现：

　　估算教学和孩子的数感是分不开的，这种感觉是依靠“意识”来支撑的，当前解决“估算”教学的难题并不是把估算的方法告诉孩子，也不是让孩子去墨守陈规地遵守“规则”，问题在于孩子是不是在解决问题是能想到这样的方法？这是难能可贵的，我们需要教给孩子的是“确定大概范围”——“进行准确计算”——“验证计算正确”的思想，这样的思想是否符合孩子的实际情况值得斟酌，孩子在这样的环境中所得到的是“计算技能”的强化训练而不是“估算意识”的培养。

　　通过对比两个国家的小学数学教材，发现在例题的设置、安排上有着各自的特征，从方便孩子理解这个方面说，美国的教材对精确数和近似数的阐述显得更好一些；中国教材中对帮助孩子理解算理更具备实际的意义，两个不同国家间教材的差异来自于两个不同民族的文化意识。

　　关键在于两个不同国度对估算的功能的定位不在同一个维度上，这样的偏差造就了我们的孩子对估算理解的不清楚，所以我认为要想教好估算，要想学好估算，首先要做的是好好去发展估算的意识，需要去思考估算教学的目的是什么？是指向于计算技能，还是指向于学生的估算意识；然后再来根据新的理念去设计我们的教学。

　　四、结语

　　估算教学作为小学数学教学的一个重要组成部分，有着特有的教学价值和特点。在实施算法优化的教学过程中，需要综合考虑影响其有效性的相关因素，巧妙地采取相应的教学策略来实现学生估算意识的提升，实现学生思维层次的提高。其实，关于估算教学值得思考和进一步探索的问题还有很多，这需要众多数学理论和实践工作者的共同探讨。本文抛砖引玉，对估算教学提出自己的一点想法，在以后的教学中还需要更加关注。

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