论小学生数学表述能力的迷失与重塑

 

　　[摘要] 数学表述能力是以数学语言作为基本元素，对数学知识、数学问题进行准确解释的能力。由于教师忽视数学表述的积极指导、学生缺乏数学表述的有效训练、教材中缺乏数学表述的直接表述等三个原因导致小学生数学表述能力在日常教学中迷失。在教学中，通过加强数学表述指导、强化数学语言间的互译、扩大数学阅读的视野等策略进行数学表述能力的培养。

 

　　[关键词] 数学表述能力  内涵  迷失  策略

 

　　新一轮的基础教育改革从实验到实施已经过了十个年度，在这个十年中，新课改给基础教育带来了全新的面貌，无论是理念上还是实践指导意义上，让教师专业化发展和学生知识能力都享受到了新课程带来的成长与促进。但在此大背景下，在教学中也出现了新的问题。近年来，笔者与众多初中数学教师教学交流中，经常听到这样一种声音：新课程改革以后，小学毕业生的数学解决问题的能力在逐年提高，但运用数学语言的能力却在不断降低。这个问题值得每一个从事中小学数学的教学教研人员反思。

 

　　数学语言是学习数学最基础的元素，也是学习数学最主要的工具。每一堂数学课的教学、每一个数学问题的解决都必须以数学语言表述贯穿始终。正因为此，前苏联的数学教育家斯托利亚尔认为：数学教学就是数学语言的教学。其实在最新的2011版《义务教育数学课程标准中》特别提出：要做到“在正确运用数学表述过程中，认识具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值[1]”；放眼国际数学教育视野，俄罗斯课程标准中也提到：掌握数学语言，具有一定的数学素养，会大大拓展现代文化人交流的可能性[2]。本研究将对数学表述能力的内涵，其能力迷失的原由以及提高其能力的策略进行进一步的阐述。

 

　　一。数学表述能力的内涵

 

　　对于数学表述能力（Mathematical expression competence）的研究，尤其是近年来一直作为热点话题在讨论。研究数学表述能力的内涵，首先要对数学表述的内涵进行界定。数学表述在数学学习活动具有着举足轻重的作用，李雅云、李宝庆认为数学表述是基于文字语言、符号语言和图式语言的活动[3]。赵林的研究中提到数学表述包括口头表达、文字表述、符号表达、图式表达等形式，数学表述能力是数学学科能力的最佳体现和反应[4]。从国外的研究来看，美国Texas教育署的研究首先给出了数学表述类型的界定，其认为数学表述包括数字表述、图像表述、语言表述、符号表述和双重表述5 类[5]：（1）数字表述是指运用各种具体的数值，如小数、分数、百分数等进行表达，还包括使用数值表，如用一列数表示结果的概率。（2）图像表述包括图画、模型、图表（如线段图、集合图、坐标图）等表现形式。（3）语言表述在此是指用书面语言文字去描述、分析、解释或反映数字、图像表述的内容，但是不包括用以表达解题思路或解释方程、表达式中某个符号意义的简单语句。（4）符号表述集中于使用象征性符号和变量、公式，包括等式（方程）、式子、代数方程式、代数式和公式。（5）双重表述是指包括上述两种表述类型的表述方法，如下图 所示，箭头将两类表述类型连接起来形成了虚线框中的双重表述，包括数字列表/语言、模型/代数方程式、横向图表/语言、纵向图表/语言、坐标图/代数方程式、语言/公式、语言/图画7种表述组合（见下图）。

 

　　所以综上所述，数学表述能力就是以数学语言作为基本元素，对数学知识、数学问题进行准确解释的能力。该能力是学生学习数学的一种基础性的能力，对学生进行数学知识的学习起到辅助性的作用。数学语言是一门高度抽象的专业语言，熟练的掌握数学表述能力才能更有利于数学交流，同时使数学思维的生长外显化。

 

　　二。 数学表述能力迷失的渊源

 

　　1.  教师忽视数学表述的积极指导

 

　　由于新课改以来，各种书籍、杂志、讲座中无不提到一个热门词汇“建构主义”，于是广大基层教师将自己曲解的“建构主义”理念融入数学课堂。其表现为在学生问答问题的时候，缺乏对数学语言的指导，只要答的基本正确，其他的同学能听懂，就是最好的答案。这种现象在如今的课堂教学中不在少数，危害在于使教师忽视了学生数学表述能力的培养，无法形成对数学语言精确和严谨的态度。

 

　　2.  学生缺乏数学表述的有效训练

 

　　无论是人文科学语言，还是数学语言，其语言的培养都离不开必要的训练，在正确的练习中体会语言表述的运用是培养数学表述能力的一条捷径。数学表述能力的训练主要来源于课堂，以及作业的练习之中。数学语言具有形式化这一主要特征，所以学者Brenner认为在儿童的数学表述能力的培养需要模仿和训练的过程[6]。从数学教育心理学的角度来说，义务教育段尤其是前两个学段是形成数学语言意识和能力的关键期。有些数学教师忽视了数学语言的训练，降低了训练的要求，只追求运算结果的正确，导致数学表述能力的提高受阻。

 

　　3.  教材中缺乏数学语言的直接表述

 

　　我国著名教育家叶圣陶老先生曾说过：教材是学习最好的老师。国家新课程实施以来，全国各省市已有8套教材正在使用。纵观不同的教材，虽都是以课程标准规定的内容作为教材编写的来源，但内容的呈现方式却有所不同。有的教材过分突出淡化概念，一些核心概念或运算法则没有用数学化的语言进行表述，例如教学乘法分配律，有的教材并未给出该运算律的文字语言法则。从教学实践的角度，未给出法则可以让学生用自己的语言建构新知，大多数学生图简便仅仅会死记硬背（a+b）×c=a×c+b×c这一字母表示形式来记忆法则，但遇到运用法则解决问题，出错率相当高，原因在于记忆法则不等于理解法则，对于四年级的小学生而言，精确的文字语言法则表述对于理解法则来说是必要的。从习得数学语言的角度，该种教材的编排不利于学生形成语言间的互译从而理解法则的内涵，更无法从教材中高效提高自身的数学表述能力。

 

　　三。培养数学表述能力的教学策略研究

 

　　胡良华在研究中对小学生的数学表述情况已有量化分析，数据表明能准确、规范地使用数学语言的仅占37%， 使用一般及较差者占63%， 能够运用数学语言进行交流的学生更是凤毛麟角[7]。可见教师在教学中，竖立培养数学表述能力的意识，充分发挥教师在教学过程中的能动性，让学生在建构知识的过程中享受数学表述能力的培育。具体策略如下：

 

　　1.加强数学表述指导，规范数学语言表述。

 

　　在学校教育的层面，教师起到的主导作用对学生，尤其是小学生的数学表述能力的形成保障。根据皮亚杰的认知发展理论，小学阶段正处于具体运算阶段和形式运算阶段初期，学生个体刚刚开始运用数学语言符号对问题和现象进行系统思考和表述，具有表象思维和初步的逻辑思维能力以及零散的可逆运算能力。此时的数学语言的掌握情况以及表述运用的能力，将大大影响学生后期数学知识的学习，因此教师在现阶段的日常教学中，进行数学表述的指导非常重要。

 

　　① 加强数学语言语义和句法的教学

 

　　数学学科具有学科的独立性的一方面在于数学领域存在着由数字、字母、字符串等组成的数学符号以及数学专属的法则与术语，所以教师在教学中需要强化术语本身的认识。对此，笔者认为在日常的教学过程中，出现数学专业语义或句法时要及时给以说明和巩固。比如在低年段教学除法的时候，立即强调“除”和“除以”、“整除”和“除尽”的区别；再如在《认识钟表》的教学中，应当随机给出“15小时”和“15时”的比较练习，让学生对“小时”和“时”概念进行区分的同时理解数学语言，掌握数学语言，才能优化数学表述。

 

　　② 明确数学语言表述的规范

 

　　没有规矩，不成方圆。学生在对数学知识和问题能够准确、完整的表述，需要教师在教学中对数学语言语句给以明确的规范。研究表明数学学困生和学优生一个很重要的区别在于数学学习习惯有显著性差异，其中学困生的数学表述知识匮乏以及缺少数学语言规范是重要的方面[8]，表现为数学符号混用、数学符号读写错误、数学专用术语混淆等等。例如在教学五年级《确定位置》时（5.3），很多学生就直接读53，正确读法应读作“数对5（停顿一下）3”，“数对”表示在确定位置，停顿一下可以区分x轴和y轴的方位；非负数和正数，自然数和正整数，让学生比较后明确两类数之间差别在于相差一个0；“相消”和“相约”、“单位长度”和“长度单位”、“最大值”与“极大值”，仅仅一字之差或者只是词语调换了顺序，含义却大相径庭。还有学生将日常的生活语言回答课堂上的数学问题，造成数学语言与生活语言的混淆等等。学生在规范的数学表述学习中，可以感悟数学语言的科学，从而准确、简洁的表征问题、解决问题。

 

　　2.强化数学语言间的互译，在互译联系中体会严谨。

 

　　数学表述的不同形式，本质上就是数学表征的多元化。数学多元表征既是数学表述多样性的理论基础，同时又是作为学生习得多种数学表述类型的一种重要策略。从数学学习心理学的角度来看，不同思维形式之间的转换及其表达方式构成了数学学习的核心[9]。进一步说，从学生习得知识的层面，对知识运用不同形式的数学语言进行表述，从不同的角度对知识进行剖析，让抽象的、内隐的知识在多元化的表述中得以变抽象为具体、变内隐为外显。简言之，互译训练可以加深学生对知识本身的理解，同时建构了学生的数学表述知识，使其数学表述在互译训练中得以准确化、自动化。例如，在教学平行、相交时候，需要学生掌握平行、相交和垂直三者之间的关系，当四年级的学生一时用文字语言无法明确表述的时候，可以引导学生用自己喜欢的方式去表达三者的关系，在小组讨论的基础上，会得到图形语言的数学表述，在此基础上再引发对文字语言的理解，使得学生在文字语言和图形语言的转换中，进一步建构知识。再如在解决问题的教学中，引导学生从文字语言的信息与图形语言（线段图等）的角度进行对问题的表述，让学生在数行结合思想方法中提高了解决问题能力的同时，规范了图形语言的表述，增强了文字语言的理解能力。

 

　　3.扩大数学阅读的视野，建构正确的数学表述。

 

　　数学阅读是从数学文本中获取意义的积极的认知心理过程。数学阅读的过程，需要学生将本文中的数学语言进行信息编码，使其通过不同形式的语言之间互译、转换内化为学生自身的认知结构[10]。通过扩大数学阅读的视野，让学生的数学语言得到更多的充盈，同时在丰富的互译训练、综合理解的过程中，每种形式的数学表述类型知识得到进一步的拓展。以符号表述为例，在小学阶段符号表述蕴含了丰富的代数思想，相关知识内容如字母表示数等，作为了沟通小学数学知识与初中代数内容的重要桥梁。同时运用数学符号表示数学抽象物这一新的领域，对于小学生而言，尤其是中年级的学生是有一定的难度的。笔者通过实践研究，发现增加阅读视野对表述能力的建构有着很大裨益。数学阅读提高的可行策略，主要两个层面。一是阅读教材。教材中本身蕴含了准确的数学表述，比如数学概念定义、数学公式、例题练习等。概念定义和公式的阅读，有助于学生掌握数学知识的本质内涵，同时让学生自身的表述能力的加强起到促进作用。数学例题的阅读，则有助于学生领悟问题解决的过程性知识，例如在四下学习《字母表示数》一节的例题，要求学生将数字代入字母表达式进行计算，该例题的阅读让学生进一步明确字母表示数的现实意义，但更重要的是让学生能在今后的代数学习中准确的表述数字代入的过程。同样是培养学生正确表述数学运算过程，低年段的计算教学的程序性知识例题的阅读的重要性更是如此。二是阅读课外数学读物。以江苏省小学生为例，通过笔者多个城市的调查，学生在教材以外往往都征订了配套数学教材学习的数学报纸。报纸的除了相关配套练习以外，设有多个数学栏目，有解决问题的巧妙方法、运算小技巧以及所学内容的数学史知识。在这些辅助内容里，数学表述的要求更加规范，同时是日常数学内容的补充和延伸。有效的阅读这些拓展内容，扩大数学视野的同时，可以进一步对学生的课堂学习的数学表述进行强化，有趣的语言和案例同时也增加了对数学学习的兴趣。

 

　　结语

 

　　数学表述能力在近几年的国际数学教育大会（ICMI）上，被多国数学教育学者广泛讨论。同时历年的PISA考题数学部分，也一向注重学生数学表述能力的考察。可见数学表述能力的培养应作为我们数学教育工作者日常教学的重要组成部分。通过多年的实践，笔者认为在培养数学表述能力方面，有两个方面值得注意：

 

　　一、注重数学表述能力的培养，不能只囿于数学表述的形式。

 

　　前文的综述中提到数学表述划分为五种具体表述类型，学生的数学表述能力需要从这五个层面进行培养。但培养数学表述能力，并不意味教师仅仅一味的让学生机械的记忆公式，通过题海战术让学生掌握数学表述的格式规范。数学教学的灵魂，在于让学生领悟数学知识的本质，以及知识中所蕴含的数学思想方法。数学表述能力是进一步学习数学的基础性能力，是一种工具性的能力，同时也应该是伴随着知识理解的基础上进行培养的。

 

　　二、育数学表述能力于每一个教学细节之中。

 

　　学校教育是学生获得知识的主要方式。然而是不是数学表述能力的培养就应该在每天的课堂之上？答案是否定的。从教育史的角度分析，赫尔巴特的班级授课制给课堂教学创造了高效率的奇迹，因此数学表述能力可以在课堂教学中系统知识的学习中得以生长。然而学生是一种创造性的个体，教师布置的一道课后有价值的习题、教师课后的循循善诱而又准确的答疑，或许也可以给学生留下顿悟的空间，在自身元认知的监控下得以建构数学表述能力。