分类思想在初中数学中的探究 |
| 所属栏目: 数学论文 更新时间:2020-01-27 点击次数:
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0w.net 分类思想是中学数学四大思想之一，分类思想不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可以掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身的内涵。教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。
１渗透分类思想，养成分类的意识每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，教师利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如：数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为整数、分数；或分为正有理数，零，负有理数，为下一步分类讨论奠定基础。讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：正数的绝对值是正数，负数的绝对值是正数，零的绝对值是零。通过对正数、零、负数的绝对值的认识，让学生了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。
结合《有理数》这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识，并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。
２学习分类方法，增强思维的缜密性在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。分类的方法常有以下几种：
2.1根据数学的概念进行分类。有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。例如：比较有理数的大小。两个有理数的大小比较，可以分为：正数和正数、正数和零、、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较。而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点，正确进行分类讨论，可得到正确的解答。
2.2根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类。学习一元二次方程根的判别式时，对于变形后的方程ax2+bx+c=0（a≠0）用两边开平方法求解，需要分类讨论△＞0，△＜0，△＝0这三种情况来对应方程的解的情况。而此题△的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程的根的三种情况。
又如，解关于x的不等式：ax+3>2x+a，通过变形得到（a-2）x>a-3，这时要根据不等式的性质分类讨论（a-2）＞0，（a-2）＜0，（a-2）=0三种情况分别解不等式。
2.3根据图形的特征或相互间的关系进行分类。
如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。
例如，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，则其腰上的高是多少？
分析：本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作腰上的高，可得腰上的高出现不同的位置进行分类求解。
３引导分类讨论，提高合理解题的能力初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括、总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。
一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。
例4、已知函救y＝（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是实数）。如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值。
分析：这里从函数分类的角度讨论，分m－1=0和m－1≠0两种情况来研究解决问题。
解：当m＝１时函数就是一个一次函数y＝－x－1，它与x轴只有一个交点（-1，0）；当m－1≠0时，函数就是一个二次函数y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1；当△＝（m－2）2+4（m－1）=0，得m=0，抛物线y=－x2－2x－1的顶点（－1，0）在x轴上。
例5、函数y=x6-x5+x4-x3+x2-x+1，求证：y的值恒为正数。
分析：将y的表达式分解因式，虽可证得结论但较难。分析可发现，若将变量x在实数范围内适当分类，则问题容易解决。
证明：（１）当x≤0时，∵x5-x3-x≥0∴y≥1恒成立；（２）当0x5，x2>x3，1>x∴y>0成立；（３）当x=1时，y=1>0成立；（４）当x>1时，y=（x6-x5）+（x4-x3）+（x2-x）+1∵x6>x5，x4>x3，x2>x∴y>1成立，综上可知，y>0成立。
由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。
利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维，相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。来
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