适度数学推演 提升理解水平 |
| 所属栏目: 数学论文 更新时间:2020-01-30 点击次数:
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0w.net 新课程实施以来，小学数学教学更贴近学生的生活现实，注重通过实际操作、生活事理、图形直观等帮助学生理解数学。这本符合学生的认知规律，也确实在一定程度上促进了学生的理解。然而在教学实践中我们不难发现，有些教师似乎又走向了另一个极端，那就是过度看重生活经验、形象工具等之于数学学习的价值，致使学生的理解止步于较低的层次。
著名数学教育家赫斯考威克斯提出“理解的类型层次说”认为，数学理解有直观理解、程序理解、抽象理解、形式理解等不同层次。显然，仅仅基于经验、形象的理解是一种浅层次的直观性理解。笔者认为，随着数学学习的深入，学生所积累的数学知识和方法增多，教学中很有必要进一步关注学生的“数学现实”，适当借助知识内部的逻辑推演，激活知识内在的联系，从而驱动学生的理解走向深入。
下面试结合“数的运算”教学中的几个案例，谈谈对“推演”策略的理解和使用。
一、适切剖析，感悟知识衍生的自然性在二年级“认识除法竖式”教学中，教师一般先出示6个苹果。操作：每2个放一盘。提问：可以放几盘？引导学生先列出横式，并说说为什么用除法计算。然后教学除法竖式的写法，并联系上面分苹果的操作，引导学生理解被除数表示要分的总个数，除数表示每盘分几个，商表示分了几盘，被除数下面的数表示一共分掉了几个，余数表示分后剩下的，如果是0就表示分完了。虽然有直观操作支撑，但在随后的巩固练习阶段可以发现，不少学生仍然不知所措，特别是对被除数下方还要再写一个“6”很不理解。
从加法、减法、乘法过渡到除法竖式学习，对学生来说常常是一个挑战。而上述难点的解决凭借操作，并经由表象构建新的算法模型，符合学生的认知规律。但问题在于，一些教师常常认为只要学生操作了，自然会理解其中的道理。从上面的教学效果看，这里的操作似乎并没有使学生获得真正的理解。为了更好地解决问题，有老师在此基础上又进一步考虑调整教材的编排顺序，将有余数的除法前移，利用“一般式”理解“特殊式”，但似乎也收效甚微。
为了摸清学生的想法，笔者曾多次在新课后与学生访谈，了解他们的困惑。结果发现，不少学生提出他们不习惯除法竖式的写法，更不能理解计算过程中为什么还需要乘和减的参与，商为什么要写在被除数的上面，等等。看来，在上述教学过程中，操作性工具的介入，仅仅使学生的理解到达较为肤浅的层次，如直观性理解、程序性理解等。访谈结果表明，学生对除法竖式的掌握还需要深层的理解作支撑，而这种深层的理解需要教师改变固有的思维方式，由对操作性工具的关注调整到对数学内部新旧知识之间逻辑推演的关注，通过推演呈现知识的衍生过程，将学生对数学的理解提升到更高的层次。
从除法竖式产生的内部逻辑来看，除法之所以与减法有联系是因为它们都起源于“分”，只是除法是一种特殊的“分”，即分得同样多，显然，推演除法竖式时一个易于理解的逻辑起点应该是同数连减。为了给同数连减留下位置，记录所“分”次数的商就调整到被除数上面。此外，根据减法的运算性质，同数连减又可以转化为先同数连加然后一起减，继而同数连加又可以升级为乘法，这样除法竖式的核心部分就凝聚成一个先乘后减的过程了。不过，这样的推演有一定的难度，低年段学生更不容易发现，需要教师直接剖析，引导学生有意义的接受。同时考虑到低年级学生的思维特点，这个抽象的剖析过程应该与操作有机整合，边操作边推演，用推演引领操作，相信符合学生思维发展水平的适切剖析能将学生带到理解的高境界。
二、引导深究，发现规律揭示的合理性在四年级“乘法分配律”教学中，教师一般先呈现问题情境：服装商店短袖衫每件32元，裤子每条45元，夹克衫每件65元。一位顾客要买5件夹克衫和5条裤子。一共要付多少元？引导学生分析数量关系，得到两种不同的算法，写成一个等式。接着联系上面的购物情境理解两种算法内在的不同，一种是分开算，一种是配套算。但不管哪一种方法都算的是5件夹克衫和5条裤子的总价钱，所以这个等式成立。然后，让学生再写几组这样的等式，算一算得数是否相等，思考有什么发现。最后引导学生比较几组等式在结构上的特点，归纳揭示乘法分配律。在随后的巩固练习中，学生对标准式掌握较好，但在变式的时候错误率明显升高，后续简便计算时常将乘法分配律与乘法结合律混淆，等等。
与加法和乘法交换律、结合律相比，乘法分配律同时涉及到加法和乘法两种运算，结构复杂，形式多变，应用广泛而灵活。是学生最难掌握的定律之一。为了突破这个难点，新教材改革了传统教材过于形式化的倾向，让乘法分配律与儿童的生活经验对接，让儿童借助生活事理理解算理，这是一种进步。从上述教学效果看，有了生活事理的支撑，使学生借助直观对乘法分配律获得了一定程度的理解。但教学不能仅仅停留于这样的层次，事实上这种浅层次的理解也没有从根本上解决问题。后续的变式应用、综合应用甚至初中阶段代数学习中提取公因式、因式分解等拓展性应用等都需要学生对乘法分配律获得更为深入的理解。笔者也曾在新课结束后随机采访有关学生，询问他们还有哪些问题，他们提出的问题有：分开算的时候有2个“5”，为什么合起来算的时候只剩下1个“5”？两种算法不同，为什么结果却是相同的？为什么叫作“乘法分配律”？“分”和“配”是什么意思？乘法分配律与乘法结合律有什么不同？……可见，虽然有事理性解释作支撑，但学生对等式内在的合理性仍心存疑惑。为了加深理解，平时教学中，笔者也常看到有教师想到进一步拓展情境，由购物到种花、栽树、贴瓷砖等，但都没能从根本上解决问题。看来，这种深层的理解不仅需要着眼数学的外部，寻找事理性解释，更需要关注数学的内部，寻找知识生长的逻辑。
运算的意义是运算律存在的基础，运算律是运算意义的拓展和延伸。乘法分配律是运算律的一种，显然，乘法分配律的本源是乘法和加法的意义，深入理解乘法分配律最关键的是要引导学生推演外在的结构形式与内在的运算意义之间的关系，透过形式化的表象，触摸内在的规律性联系。具体教学时，可以通过追问引导学生依据乘法和加法的意义，对等式进行深究、推演：
（65+45）×5=（65+45）+（65+45）+（65+45）+（65+45）+（65+45）=（65+65+65+65+65）+（45+45+45+45+45）=65×5+45×5反之，亦是如此。相信经过这样的推演，定能有效提升等式成立的可信度，事实上这也正是乘法分配律在自然数范围内成立的一个逻辑推理的过程。从事理过渡到推理，让事理整合推理，有助于学生真正把握定律的内在实质。
三、经历“再创造”，体验方法建构的多样性在六年级“分数除法”教学中，教师出示例题：量杯里有4/5升果汁，平均分给2个小朋友喝，每人可以喝多少升？教师先让学生根据整数除法的意义，列出算式：4/5÷2=？接着用长方形表示1升果汁，让学生在1升的基础上找出4/5升，然后让学生在示意图上分一分，再算出结果。在交流汇报时，绝大多数学生找到了方法一：即分子除以2，分母不变。接着教师联系示意图继续引导，不少学生又找到了方法二：即4/5÷2= 4/5×1/2=2/5。在随后的“试一试”阶段，教师将上面例题中的“2”调整为“3”，并放手让学生探究，旨在让学生自主理解方法一的局限性。交流展示环节，不少人发现了方法一的局限性，并说出了自己的理由：分子中的4份无法再平均分成3份。不过有一个学生却提出了自己的想法，并写出了计算过程，不妨可以称之为方法三：4/5÷3= 12/5÷3=4/15。教师稍稍观察发现方法三也很有道理，但这与他即将进行“化除为乘”的方向背道而驰，于是他不仅没有肯定这种算法，而且似乎还有些慌乱，稍稍平息后，他采取了置之不理的策略，继续联系示意图，隆重推荐方法二。
分数除法的计算方法是小学数学中最难理解的。为了突破这一难点，教材一般通过循序渐进方式，由易到难安排学习内容。先教学“分数除以整数”，再教学“整数除以分数”“分数除以分数”，最后总结计算方法。此外，为了让学生理解算理，通常借助示意图引导学生探索理解。分数除以整数是分数除法的起始课，学生第一次面临“化除为乘”的问题。从上面的教学过程可以看出，示意图虽然能在一定程度上促进学生对这种转化的理解，但却不能引领学生对这种转化实施主动建构，致使学生对该计算方法的理解仍然停留在直观理解、程序性理解等较为肤浅的层次。如果要进一步提升学生的理解水平，需要进一步调整视角，由对外部直观验证的关注进一步调整为对内部数学联系的关注，也就是要借助推演的方式促进学生对新知的主动建构。事实上，在上述教学过程中，因为高年级学生已经有了一定的知识基础，头脑中也已经建立了较为丰富的知识联系，他们对数学的探究事实上已经能自主走向推演的层面。只可惜教师没有认识到逻辑推演之于学生理解的重要意义，也没有认识到方法三与“化乘为除”之间的内在联系，从而错过了引导学生走向深层次理解的契机。
分数除法是小学生学习的最后一个基本的四则计算。虽然分数除法的计算方法与已经学过的整数、小数除法差别较大，不能由已有的算法直接迁移而来，但分数除法与学生已有的数学知识联系极为丰富，如与整数除法、通分、商不变的规律、方程等都有密切的联系，因而，分数除法的计算方法更具有创造性。分数除法学习不仅要关注图形直观，更要关注知识内部的逻辑推演，让学生通过“再创造”的方式自主建构新知，深刻理解新知。只是，面临学生的“再创造”，有时需要教师有敏锐的目光，及时捕捉到学生推演中的合理成分，并适时改造，为彻底打通新旧之间的血脉联系提供恰当的帮助。例如，上面的方法三，表面看似乎与颠倒相乘没有关系，但只要引导学生仔细分析，就会发现这里由于除数不能整除分子，就需要将分子转化为除数的倍数；而该转化中要使分数的大小不变，就需要对被除数的分子分母同时乘3，然后相除；相除后由于分子除以3，相对于原来分数来说分子又还原了，但分母已经不能还原，最终实际只是分母“变大”了，分子并没有变。这就打通这一分数除法与乘除数倒数的联系。可见，合逻辑的推演，不仅有利于调动学生探究的主动性，而且有利于学生体验知识联系的丰富性和方法建构的多样性，进而有利于促进学生的深层理解。
综上所述，数学教学策略从生活现实进一步拓展到数学现实，这就涉及到弗赖登塔尔所提出的“数学化”的问题。数学化可分为横向数学化和纵向数学化。横向数学化注重数学与现实生活的联系，纵向数学化注重数学内部的迁移和调整。完整的数学化过程应该是：
过度依赖生活现实的教学只关注了横向数学化，忽略了深层次的纵向数学化。完整的数学教学应该进一步关注学生已形成的数学现实，关注知识内部的逻辑推演，着眼以知识内部的生成、重构促进学生的深层理解。当然，这种推演还需要考虑到学生的年龄特征，要由有意义接受逐步过渡到自主的“再创造”。尽管学生个体在数学理解上所能达到的层次可能有所不同，但是如果小学数学教学中注意适当使用推演的策略，一个为多数学生所能达到的理想层次是有可能实现的。来
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