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让数学思想方法在学生脑海里“扎根”

所属栏目: 数学论文  更新时间:2020-02-02 点击次数:

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数学学习不仅是数学知识的学习,而且也是数学思想方法的学习,只有注意数学思想方法的分析才能把数学讲懂、讲活、讲深,才能使学生头脑形成一个具有“活性”的数学知识结构,促进学生数学能力的发展。

《标准(2011年版)》在“课程总目标”中明确指出:“通过义务教育阶段的数学学习,学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。《标准》第一次明确提出了“四基”的培养目标。

中央民族大学孙晓天教授认为:“四基”是十年数学课程改革最重要的收获;“四基”是数学课程改革取得的最重要、最具成长性的标志性成果。

数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想的理论和抽象程度高一些,而数学方法的现实性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学思想方法;而人们选择数学方法,又要以一定的数学思想为依据。因此,二者是有密切联系的。我们把二者合成为数学思想方法。数学思想方法是从某些具体数学认识过程中提炼和概括出来的,带有一般意义和相对稳定的特征。它揭示了数学发展中普遍的规律,对数学的发展起着指引方向的作用。应该说,数学思想方法是数学的灵魂,在小学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法可以加深学生对数学知识的理解,提高学生的数学素养,为学生今后的数学学习积攒后劲。

日本数学家和数学教育家米山国藏在从事多年数学教育研究之后,说过这样一段话:“学生们在初中或高中所学到的数学知识,在进入社会后,几乎没有什么机会应用,因而这种作为知识的教学,通常在出校门后不到一两年就忘掉了,然而不管他们从事什么业务工作,那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法,却长期地在他们的生活和工作中发挥着做作用。”漫长的数学发展史也告诉我们,一个人要想在数学上有所作为,仅简单地拥有大量的知识是不够的,他必须同时具备数学的精神,掌握数学思想与方法。

小学数学教学中涉及的数学思想方法很多。如:对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、符号化思想方法、类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、集合思想方法、数形结合思想方法、统计思想方法、极限思想方法、代换思想方法、可逆思想方法、化归思维方法、变中抓不变的思想方法、数学模型思想方法、整体思想方法等等。

一、目前数学思想方法在教学中落实的现状分析

数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中,是有“形”的,而数学思想方法却隐含在数学知识体系里,是无“形”的,并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲,讲多讲少,随意性较大,常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。

为了了解数学思想方法在教学中的现状,我对我校不同年龄段和不同年级的老师进行了问卷调查和访谈,并通过邮件的形式向外省市的骨干教师和网友们进行了询问。

我一共设计了5个问题:

1.你知道《标准》(修订稿)中“四基”的目标指的是什么吗?“四基”中的“基本思想”指的是什么?

2.“数学思想”和“数学方法”有什么区别与联系?你怎样理解“数学思想方法”?

3.你知道哪些数学思想方法?

4.请你谈一谈“分类思想”在小学数学教学中的应用。

5.请你举一个教学片段,谈一谈你在教学中是怎样渗透数学思想方法的?

从问卷和访谈的结果看,“四基”的内容大部分老师都能准确说出来;老师们想到最多的数学思想方法是“转化思想”(有的老师说成“化归思想”)、“分类思想”、“类比思想”、“极限思想”;分类思想在教学中的应用老师们都能举出两三个例子;在教学中渗透思想方法的例子老师们首先想到的是“转化思想”,很多老师想到了平行四边形、三角形、梯形、圆面积公式推导过程中转化思想的运用。

长期以来,传授知识与教书育人的分离。在数学知识教育中,教师十分重视数学知识的传授,往往只注重“知识点”,特别是与考试有关的知识点,千方百计地加以深化和强化,却不注意对数学思想和本质的揭示,不注意促进学生的发展,忽视对学生的成长的关注。教师只教书不育人,甚至“目中无人”。我们对数学教学效果的评价总是围绕“显性知识”的掌握而展开的,相对削弱了对学生“数学思想方法”的有效考察。调查发现,老师们平时教学中对于数学思想方法的渗透大部分处于“无意识”状态,教师的随意性很强,很多教师对这部分内容缺乏设计。还有很多老师根本不知道每节课中到底应该渗透什么数学思想方法。究其原因,多数教师对挖掘教材中的数学思想方法有困难,甚至不少教师对特定数学知识背后隐藏什么样的数学思想方法全然不知。因为教学参考书中没有明确地写出来,平时教学可参考的教学资料很少。当进一步追问老师们:“你们平时听课时关注老师如何渗透思想方法的吗?”回答是“很少关注这方面”,有的年轻教师说:“即使有渗透,我也看不出来”。看来,对数学思想方法教学缺乏意识性是一个比较普遍的问题。

二、数学思想方法形成的大致“路径”

数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括,如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中,通过独立思考、合作交流,逐步感悟数学思想。

小学数学教学中蕴含着丰富的数学思想方法。虽然数学思想方法教学比数学知识教学困难,但仍有规律可循。学生对每一种思想方法的领会和掌握,都要经过较长时间、不同内容的学习才能真正达到。学生理解掌握数学思想方法的过程一般有三个阶段:

1. 潜意识阶段

在这个阶段,学生往往只注意数学知识的学习,面对隐藏在知识后面的思想方法未能引起注意,或者只是处于一种“朦朦胧胧”、“似有所悟”的状况。

如,低年级学生对于“分类思想”、“数形结合思想”、“对应思想”因为只是刚刚接触,这个阶段主要是积累数学活动经验,主要方法是通过不断出现让学生“混个脸熟”。

2. 明朗化阶段

随着运用同一种数学思想方法解决不同的数学问题的实践机会的增多,隐藏在数学知识后面的思想方法就会逐渐引起学生的注意和思索,以至于产生某种程度的领悟。当经验和领悟积累到一定程度,这种事实上已被运用多次的思想方法就会凸现出来,甚至达到一种“呼之欲出”的境界。这就是数学思想方法学习的明朗化阶段。

如,在教学平行四边形面积时,学生会想到把平行四边形转化成长方形;在推导三角形面积时,学生会想到把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形;在推导梯形面积时,学生会想到把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形;在教学圆的面积时,学生会想到把圆分成若干个小扇形,再拼成平行四边形或长方形。至此,学生到了六年级,对于“转化思想”就达到了“明朗化”阶段,“转化思想”已经深入学生内心。

3. 深刻化阶段

这时,学生已能正确运用某种数学思想方法进行探索和思考,以求得问题解决。同时,在问题解决的实践过程中,又加深了学生对思想方法的理解,经过多次应用,能逐步到达一种思想方法运用自如的境界。

如,到了毕业复习阶段,学生对“转化思想”的理解就比较深刻,学生除了能够利用“转化思想”解决图形类题目,还会迁移到计算题和较复杂的应用问题。甚至最后能够自己总结出用转化思想解决问题的形式有:化繁为简、化整为零、化曲为直、化生为熟、化静为动、化形为数、化数为形、化一般为特殊等。

三、教学设计中如何“抽出”思想方法这条线

数学思想方法总是隐藏在各知识版块中,体现在揭示、应用知识的过程中。可以这样说,数学教材的每一章节乃至每一道例题,都体现着数学基础知识与数学思想方法的有机结合。这是因为,没有脱离数学知识的数学思想方法,也没有不包含数学思想方法的数学知识。

教材中,除个别思想方法外,大量的、较高层次的思想方法是蕴含于表层知识之中,处于潜形态。作为教师,应该将深层知识揭示出来,将这些深层知识由潜形态转变为显形态,由对数学思想方法的朦胧感受转变为明晰、理解和掌握。这样才能根据学生实际,采取适当措施去体现思想方法的教学。

如“符号思想”在“数与代数”领域主要出现在“数的表示、数的运算、数的大小比较、运算律、方程的认识”等教学内容中;在“空间与图形”领域主要出现在“用字母表示计量单位、用符号表示图形、用字母表示公式”等内容中。具体到某一节课,也有很明确的数学思想渗透。如植树问题渗透的是模型思想,乘法分配律渗透是模型思想,三角形面积公式渗透是模型思想,正反比例渗透是函数思想,积的变化规律渗透的是函数思想,三角形的分类渗透的是分类思想,在低年级利用数直线比较数的大小和进行加减法计算,渗透的就是数形结合思想。比如说加法,2和3加起来等于5,这个答案“5”是唯一确定的,写成数学式子就是2+3=5;如果把左端的3变成4,右端的5就变成6,把左端的2,变成7,右端的5就变成10。右端的数被左端的数所唯一确定。在数学里,数量之间的确定性关系叫做函数关系。加法实际上是一个函数,由两个数确定一个数,是个二元函数。如果把式子里的第一个数“2”固定了,右端的和就被另一个数确定,就成了一元函数,这里面就蕴藏着函数思想。

要想准确找出每节课的数学思想方法,需要教师对教材进行“深入解读”,教师需要对教学内容所承载的教育价值进行分析,考虑内容背后所蕴藏的丰富的思想方法。

合理的知识结构对教师的成功教学起着重要的作用。除了认真研读教材和教学参考书,建议大家读一些相关的专著,通过阅读专著提升自己的专业素养。教师自己先要搞懂有哪些数学思想方法,每一种思想方法的含义是什么,这样才能以较高的观点驾驭数学教学内容,才能站在“高观点”进行小学数学思想方法的教学。

四、教学中“明线”与“暗线”如何自然穿插

数学思想方法是数学知识的精髓,它蕴含在数学知识发生、发展和应用的全过程,是数学发展的内在动力,是知识化为能力的桥梁,是学生形成良好认知结构的纽带。

由于数学思想方法往往隐含在知识的背后,知识教学虽然蕴含着思想方法,但是如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象,在数学学习时,学生常常只注意处于表层的数学知识,而注意不到处于深层的思想方法。因此,进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体,把隐藏在知识背后的思想方法显示出来,使之明朗化,才能通过知识教学过程达到思想方法教学之目的。

也就是说,数学教学内容贯穿着两条主线,即数学基础知识和数学思想方法。数学基础知识是一条明线,直接用文字写在教材里,反映着知识间的纵向联系。数学思想方法则是一条暗线,反映着知识间的横向联系,常常隐藏在基础知识的背后,需要人们加以分析、提炼才能使之显露出来。

如,在圆的周长和圆的面积公式推导过程中,公式的获得是“明线”,而“转化思想”与“极限思想”的渗透则是“暗线”。为了引导学生在数学思想方法的体验和浸润中学习数学知识,教师可以适当拓展教学内容,在教学“圆的周长”一课时,可以给学生介绍古代杰出的数学家刘徽的“割圆术”;在教学“圆的面积”一课时,可以通过学生操作和课件演示,使学生直观感受到把圆等分成4份、8份、16份、32份、64份、128份所拼成的图形的变化,使学生发现等分的分数由少到多,拼成的图形越来越接近于长方形。从而渗透“转化思想”和“极限思想”。

又如,在教学“一个数除以分数”一课时,我就巧妙地利用“分数墙”引导学生理解“为什么一个数除以分数等于这个数乘分数的倒数”。

利用“分数墙”帮助学生理解“4÷= 4×2”。

 

 

教师分两步引导学生思考:

第一步,“一个一个”数,结合课件演示,数出4里面一共有8个;

第二步,“一组一组”数,1里面有2个,2里面有4个,3里面有6个,4里面有8个.一共是“4个2”,列式是4×2.

引导学生得出:4÷= 4×2。

“分数墙”是一种非常好数学模型,通过分数单位的个数,引导学生数形结合,用图形语言刻画运算过程,帮助学生直观理解四则运算的算理,教学中老师组织学生进行“圈一圈”的活动,“几个几”的图像便跃然纸上,有利于学生表象的建立,使问题的数量关系更易于理解,使抽象的算理具体化。

五、数学思想方法教学应注意的问题

1.要把数学思想方法的学习纳入教学目标,教师在进行教学设计时,要考虑如何使数学思想方法在每一个教学环节得到有效落实。

2. 对学生数学思想方法的渗透 不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的,数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练,才能使学生真正地有所领悟。因此,教师要重视数学知识发生、发展的过程,采取“小步走”“多层次”“步步为营”的方法,不求快,但求稳、求实。

3.在进行某种数学思想方法的教学之前,要精心设计一些与此思想方法相关的问题,做好铺垫工作,引导学生思考;由于同一内容可蕴含几种不同的数学思想方法,而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的表层知识之中,因此,及时小结、复习就显得非常重要;当实施了一种数学思想方法的教学之后,还应要求学生按照一定的程序和步骤进行练习,使学生初步巩固刚刚形成的数学思想方法,促使学生的认识从感性到理性的飞跃.

4.不同类型的数学思想方法应有不同的教学要求。对宏观型数学思想方法应着重理解其思想实质,认识到它们的重大作用;对操作型数学思想方法应着重培养运用方法的技能、技巧,并注意不断扩大应用的范围。

5.注意不同数学思想方法的综合运用。虽然在学习数学思想方法时,只能是一个方法一个方法地学习,但是在实际解决数学问题时,往往是多种思想方法的综合运用。

6. 注意度的把握。教师要认真研究教材,当一个数学思想方法明确后,怎么渗透,特别是渗透到什么程度一定要认真考虑,不要为了追求形式搞花架子,也不要生搬硬套、和盘托出。教师一定要记住:讲了学生也不懂的东西最好不要讲。

总之,教师要提高对渗透数学思想方法重要性的认识,要结合不同阶段不同内容的知识教学,有意识地进行孕育和渗透。同时教师要意识到,数学知识教学与数学思想方法教学有着显著区别。数学知识教学是数学认识活动结果的教学,呈静态点型,重在记忆理解;数学思想方法教学是数学活动过程的教学,呈动态线型,重在思辨操作;离开数学活动过程思想方法也就无从谈起。数学思想方法不同于一般的概念和技能,概念和技能通过短期的训练很快就能掌握,而数学思想方法的教学应该是一个“慢过程”,需要通过长期的渗透和影响才能够最终沉淀下来。


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