谈数学的有效学习

　　袁永贵

　　【内容摘要】：数学，它对逻辑推理思维模式的培养起着独特的作用。在教学过程中经过严格训练，可使学生有条理地不含糊地表达自己的思考过程。可以做到言之有理，落笔有据。同时，要透彻理解好概念，知识结构以及建立题库。因为思维模式的建立，要依靠知识结构来支撑，要依靠训练来实现。数学学科是一门严谨的学科，要实现有效学习，必须要有一套完整的学法体系。

　　关键词：数学 有效 思维模式 表达方式 题库

　　一、数学是一种思维模式。

　　数学知识及它的应用性是一个方面，对现代人而言，数学通过知识这个载体更重要的是使人培养建立具有逻辑链的思维模式并提升思维的层次及能力，从而有更多方面的更强大的学习能力实践能力解决问题的能力。与语文的能力都是头等重要的。语文数学学好了，只要有兴趣，学习其他领域的知识都轻而易举了。

　　比如在平面几何里，给出图形及条件，探究给定的三个角的数量关系。不管最终能不能将其解决，首先要猜测答案有哪些方面，再者是可从哪些方向入手。答案的可能性：

　　①相等关系，即可能大角等于两小角之和。

　　②可能三个角之和为定值。

　　这就是建立思维模式。有了思维模式，办法就出来了，不是很聪明的小学生也可能能够解决了。

　　方法一，可用量角器量一量即可使答案浮现。

　　方法二，通过平行线、内错角等知识及手段很快能探究出答案。

　　这就较显浅地说明了思维模式的含意。

　　如果不注重建立思维模式，看到问题就糊乱糊想，问题不会容易解决，久而久之，会感到学习无趣，对学习数学失去信心，偏科的现象就有可能出现了。

　　建立思维模式就是学会思考问题。这也是数学对人思维成长的更有价值的贡献。因为思维模型就是思想的基本过程，思维模型对人的认识具有重要作用，因为认识是主体对客体的反映，客体决定认识的内容，而客体对认识的决定作用是通过主体内部的思维模型实现的。

　　二、数学知识及思维模式

　　数学知识具有继承性。如，求未知量的问题(应用题)，在小学低年级用的方法，是根据加减法、乘除法的互为逆运算关系，寻求各量之间的关系而列式计算的，需要较强的技巧。而到了高年级或初中，就用“设”的方法，列方程来解决了，这就简单多了。到了高中，就知道方程是函数的一个特殊形式，通过函数图像等就多了分析方法及途径了，而且解决问题的方向更加清晰明了，问题的解决更加容易了。又比如，求最值问题，在小学，只能通过观察一组数据或图表发现规律而猜出最值。上了初中高中后，逐步知道可用基本不等式来解决了，可以用二次函数来解决了，可以用三角函数来解决了，再后来可以用向量不等式解决了，甚至可以用函数求导来解决了，可以用极坐标方程或参数方程来解决了。这样，运用知识，用途解题的思维模式手段等等跟海上的浪花一样，一浪一浪地涌过来，方法多了眼界开了兴趣来了压力少了，感觉数学其乐无穷!

　　三、数学的表达方式

　　数学家最善于表达，未知的不明朗的或某部分重要式子，都非常习惯地使用“设”。“设”能使表达简结清晰，能把末知的问题设成已知，更能看到问题的突破方向。

　　有规律的对齐的书写也是数学最有效的表达方式。可看出事物的规律，可看到某些部分互相抵消了，不讲究的书写就轻易的把有利于思考的因素掩盖了。所以，关于数学解答，表达方式选对了，可使复杂的问题简单化，可使一头无绪的难题找到突破口。

　　注重表达也是学好数学的关键。别小看了这个“设”及这个对齐书写(有正对、斜对等等)的表达方式。

　　四、学数学要透彻理解概念。明确相互联系影响的概念，用数学知识挖掘生活体验比如增减函数的概念。对增函数，不能离开定义域区间说增函数，区间扩充了它可能就不是增函数了，区间缩小了仍然是增函数。对区间上的任意两个数值，右边的函数值都要比左边的大。“任意”、“都”字是必须的，图像确保总是向上走。只要能找到区间上有两个数值，右边的函数值不比左边的大，就可以说函数在这个区间上不是增函数了。更重要的还要深刻掌握这个概念的数学语言的表达，就是那组不等式的表达，这是更实质性的，日常语言在逻辑推理上使用是艰难的，只有数学语言的表达才能在逻辑推理中显得特别畅顺。所以，学习数学概念掌握其数学语言表达更重要。 函数概念是增减函数概念的基础，想理解好增减函数的概念首先要理解好函数概念。增减函数概念对将来用导数理论讨论求极值问题起到了很好的作用。 增减函数的概念也反映人生际遇，增函数就好比人生的上坡，人的一生有上坡也有下坡，函数也有增减。当然，两者又不是完全等同的。这样学数学是不是好轻松又好有趣?掌握了还要花心思牢牢的记住它。

　　五、学数学要更注重建立知识结构及方法体系。本来是联系着的有逻辑关系的知识内容，只有把它们的内在联系及结构建立起来，才能清晰易记好用，才有利于提升能力。方法体系也如此。知识结构也叫知识树，通过它可以看到这个整体内容的核心、关系、分清主次，有牵一发而动全身之功。知识结构既揭示知识内容的纵向联系又揭示横向联系，现代语称为知识网络。

　　学完了一个整体内容，如果知识在心中是零碎的孤立的，那么分析问题就会很吃力，运用起来就不会得心应手。所以学了一个整体内容要马上建立知识结构，深刻理解好!并牢牢的记住。方法体系也是一样的，这要通过在学习中领悟。比如圆的知识。 在平面几何里核心是 圆的概念、垂径定理、弦切角定理。由此可派生出其它的结论及定理。核心方法是 添加辅助线、平移弦进行动态分析、利用弦的中垂线、等腰三角形、直角三角形、勾股定理、相似比例关系、构造面积等量关系等等进行问题的转化，寻找解决问题的突破方向。在平面解析几何里核心是 圆的轨迹定义(或集合方式定义)、两点间距离公式、点到直线的距离公式。由此派生出其它的结论及定理。核心方法是，考量圆心到直线距离来判断直线与圆的位置关系，考量圆心距来判断两圆的位置关系，某些代数式的最值可转化成几何直观来解决。 在平面解析几何里，圆、椭圆、双曲线、抛物线则由离心率统一了定义，统称它们为圆锥曲线。 圆锥曲线问题在极坐标下或在参数方程下可能更简单。 以上较为显浅的说明了知识结构及方法体系的含意。

　　一般来说，每学完一章所有数学知识的学习了，就应立即对各内容进行知识结构及方法体系的总结整理，并深刻理解牢牢记住。用一两周的时间完成此任务，走在老师复习课的前面，争取学习上的主动。腾出更充足的时间进行解决问题的训练，使能力迅速跃升到更高层次。

　　六、学数学要切实建立能力训练的题库。数学领或里，一方面是知识体系，另一方面是思维模式(包括能力)。更重要的是思维模式，它不仅仅解决数学领域内的问题。思维模式的建立及提升要依靠训练来实现，这就要建立题库。 题库顾名思义必须有适当的容量。容量小了不足以达到训练效果。容量大了会使人无所适从，变成机械式的训练，心生厌烦情绪，变成一种伤害。 题库里的题目要有适当的难度及梯度，以保证训练效果。题库应包括专题卷及套题卷。 专题卷就是专题(比如几何概型)内容的训练。套题卷就是整体的全面的卷(如高考卷)，内容有混合方法有交叉。题库的建立,在平时的学习和练习中就要注重提炼题库，也可由平时的小考卷、段考卷、大考卷、模拟卷进行提炼。特别选取十几份近几年各省区的高考卷进题库，以确保题库的质量。

　　有了题库就扎扎实实练起来，反复做题库里的题，一套卷可以做多次，要求每一次都有新的更深的体会，不是为训练而训练，要的是真正提升思维层次及能力。做完一份卷，要留有足够的时间总结思考感悟，形成新的更高的思维模式。如果练来练去都是原来的水平原来的感受，心中没有豁然开朗的感觉，就说明所做的训练是不适当的。建立题库就是为了改变这种状况，避免题海战术，避免内心傍惶，避免劳民伤财。

　　总之，在新课标的背景下，实现数学有效学习是一个永恒的话题，只要我们遵循了学生学习的心理规律，认真研究，勇于探索学生能够获得的有效数学学习课堂，设计高效的数学教学活动，相信一定会帮助学生实现高效数学学习。提高学习质量，最终实现学好数学的目标。