中学数学中的化归思想

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陈汉潮

摘要  化归是数学上解决问题的基本思想方法,教学中引导学生善于运用化归思想,可使学生在面对数学问题时更得心应手.

关键词  化归思想;等价化归;不等价化归

引言  化归是转化与归结的意思,把有待解决的未解决的问题,通过转化过程,归结为已熟悉的规范性问题或已解决过的问题,从而求得问题解决的思想.化归是解决数学问题的一种重要思想方法,善于使用化归是解决数学问题的关键.

一.化归基本思想

使用化归方法解决数学问题的基本思想是:想要解决问题A,可将它转化为解决问题B,再利用解决问题B的解答去完成问题A的解答.化归的常用模式为:

待解决的问题A  容易解决的问题B

(化归 对象)(化归  目标)

 

问题A的解答问题B的解答

化归也就是把复杂问题化为简单问题;把陌生问题转化为熟悉问题;将一个问题转化为另一个问题;将问题的一种形式转化为另一种形式.

 

还有这里的问题B可能还包括一系列待解决问题,从问题B到问题B的解可能经过若干个问题的解决过程.如:

 

         

                                                  …             

     ∶           :           :           :             

     ∶      :      :           :

                                                      … 

 

 

下面通过两个例子来说明化归方法的具体含义.

例1.在假定我们已经会求矩形面积的前提下,去求解:

(1)平行四边形面积;

(2)三角形面积;

(3)多边形面积.

解:(1)由于我们已经会求矩形面积,因而我们会很自然地想到用割补法把平行四边形化为与之等积的矩形.

(2)可用拼接法,把两个三角形拼成一个平行四边形,从而把问题转化为(1)的情形.

(3)可用分割法将多边形分割成若干个三角形,这样就把问题转化为(2)的情形了.

例1中3个小题的求解过程有一个共同的特点,那就是它们都不是利用面积的最基本的概念(含单位正方形的个数)去求其面积,而都是将来解决的问题转化归结为一个已经能解决的问题,从而求获原问题之解答,这正是化归方法的重要特色.

例2.在边长为2的正方形内,任意放置5个点,求证其中必存在两个点,它们之间的距离不大于.

注意这个数值,它使我们联想到单位正方形对角线的长,如所知,在单位正方形内,任意两点间的距离都不大于对角线的长,从而小于或等于.因此原问题便转化为在所设条件下往证“至少有两个点落在同一个单位正方形之中”.我们把边长为2的正方形划分为四个单位正方形,那么问题便可进一步转化为“证明在四个单位正方形内任意放置5个点,至少有两个点在同一正方形内”.由于这个问题与大家在生活中早就体验过的下述问题完全一样,即“在四个抽屉内放五个苹果,至少有一个抽屉内要放进两个苹果”.因而原问题也就获证.

 

二.化归思想在数学解题中的普通性

化归在数学上是应用极为广泛,可以说数学解题就是转化问题,每一个数学问题无不是在不断地转化中获得解决的,它是分析问题解决问题的有效途径.

著名数学家纳皮尔(Jaha Napier)和笛卡尔(R . Descartes)都是近代数学史中善于运用化归方法的杰出代表.纳皮尔是对数的发明者,他将复杂的乘、除、乘方、开方等运算问题转化为简单的加、减、倍积运算问题,大大减轻了计算工作量.笛卡尔通过建立坐标系把几何问题化归为代数问题,从而创立了解析几何这门新学科.笛卡尔在《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》著作中给出了一个解决问题的“万能方法”模式:第一步,将任何问题都化归为数学问题;第二步,将任何数学问题都化归为代数问题;第三步,将任何代数问题都化归为方程式的求解.在伽罗华创立群论之前,人们解一元二次方程:

ax2+bx+c=0(a≠0) x2(x +)2 = 

x = ,同理人们也找不到一元三次方程、一元四次方程的公式解,五次和五次以上的方程是否有公式解?数学家阿贝尔证明:对于五次和五次以上方程根式解是不可能的.经过数学方法的转化,伽罗华给出五次和五次以上方程有公式解的充要条件,并在此基础上创立群论.在研究哥德巴赫猜想、证明费马大定理的过程中,由于研究数学的方法的转化,最后数学家才取得丰硕成果.

在中学数学中运用这种化归的思维方法解决问题的例子非常多.例如,在代数方程求解时大多采用“化归”的思路,它是解决方程或方程组问题的最基本的思想.即将复杂的方程或方程组通过各种途径转化为简单的方程或方程组,最后归结为一元一次方程或一元二次方程.

因此,在解决数学问题的过程中,我们不仅关注数学问题转化,更要关注解决问题的方法的转化.

 

三.数学问题的化归

1、等价化归

等价化归是把一个新问题转化为一个等价的会解的问题,要求等价化归前后是充要条件的关系.

例1.已知:a+b+c=0,求证:a3+b3+c3=3abc

分析:如果我们给等式a+b+c=0赋予活的数学内容,那将出现一种新的格局.首先,它不再是一个静止的等式,而是个方程ax+by+cz=0有非零解x=y=z=l

其次,它不再是一个孤立的等式,而是三个同样的等式:

a+b+c=0

c+a+b=0

b+c+a=0

最后,将上述两个等式结合起来,得齐次线性方程组:

有非零解x=y=z=l从而系数行列式等于零,即

0==a3+b3+c3-3abc

所以a3+b3+c3=3abc

这里既没有用到乘方公式,也没有用到因式分解的技巧,是对方程解的定义的理解,把a+b+c=0转化为齐次线性方程组,从而归结为行列式的简单展开.

2、不等价化归

我们研究数学问题时,有时是将一个问题转化为与它等价的问题,有时新的问题与原来的问题并不等价,但是从新的问题可以很容易得到问题的解.在证明不等式问题时,我们经常使用这种不等介的化归方法.

例2.设n(n>4)是给定的整数,x1,x2,…,xn∈[0,1],求证

2(x+x+…+x)-(xx2+xx3+…+xx1)≤n.

证明:我们先证明一个的命题:

若x,y ∈[0,1],则x3+y3≤x2y+1

事实上,当x<y时,x3≤x2y,y3≤1,所以x3+y3≤x2y+1

        当x≥y时,x3≤1,y3≤x2y,所以x3+y3≤x2y+1

于是,x+ x≤xx2+1

      x+x≤xx3+1

      ……

      x+ x≤xx1+1

把上面的不等式相加,便得到要证明的命题.

由些可见,等价转化要求转化过程中的前因后果是充分必要的关系,因此,等价转化保证了转化后的结果仍是原问题所需要的结果,而非等价转化则不然,它不能保证转化后的结果就是原问题所需要的结果,还需有其他辅助手段帮助我们得到准确结果,既使是这样,非等价转化也往往是解题所必需的,是突破难点的重要思维形式之一.

3、模式识别

在学习数学的过程中,所积累的知识经验经过加工,会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型——模式,将其意识地记忆下来,并作有目的的简单编码.当遇到新问题时,我们可以辨认它属于哪一类基本模式,联想起一个已经解决的问题,以此为索引,在记忆贮存中提取出相应的方法来加以解决,这就是模式识别的解题策略.这一策略体现了化归思想.

 

例3.已知:数列{}中,=1,,求数列{}的通项公式.

分析:将转化为

等式两边同除以  得

此式与数列问题相似:

(1)  ,通项公式

(2)  

两边同除以

数列{}即为(1),所以

根据(1)、(2)得的通项公式:

所以

 

例4.,求证:

分析:由于故由对数函数的单调性,不等式等价于…(1),这样原来的问题就转化为:在<<1且的条件,证明不等式(1).由条件,因此不等式(1)可以化归为…(2),注意到不等式(2)的右边有一个系数2,显然,为了得到2这个系数,我们会自然想到算术与几何平均不等式:.由<<1,…(3),比较不等式(2)和(3),如果我们能证明…(4),那么不等式(2)自然成立.

对于不等式(4),由于<<1,故由指数函数的单调性,不等式可以转化为,即…(5)

这样,我们最终将问题(即原来不等式)转化为不等式(5)这个简单而熟悉的问题.

事实上,(显然等号当且仅当时成立).因此我们可以推出不等式(4)、(2)和(1),最后得到要证的不等式.

从上面的分析可以看出,由于解题的需要,我们在思考的过程中多次将问题进行变形,使之转化,从而使原来的问题化归为熟知的已知能解决的问题而得到解决.特别注意有时候问题在形式上可以向该类问题的标准形式化归.如一元二次方程求根公式及根与系数的关系都是关于标准形式的一元二次方程而言的,只有化归成标准的一元二次方程形式后,才可用有关的结果.解析几何中二次曲线的有关理论都是针对标准形式方程讨论的,因此也只有化成标准方程形式,才可能运用这些理论.所以,将待解问题向标准形式化归是数学解题思维的一个基本原则.

 

四.经典例题分析

例1.求f(x)=3sin(x+20°)+sin(x+80°)的最大值.

分析:该题若运用公式展开相当繁锁,难以得出结果,若做以下转化,则非常巧妙.

f(x)=3sin(x+20°)+sin[(x+20°)+60°]

=

此时f(x)的最大值即可得到.

 

例2.当m是什么整数时,关于x的方程x2-(m-1)x+m+1=0的两个根都是整数?

分析:可以运用化归的思想把关于x的二次方程转化成关于m的一次方程,因为关于x的方程有解,那么关于m的方程也应有解,且解是整数.

解:原方程化为(x-1)m=x2+x+1

∵x=1不满足原方程  ∴x≠1,x-1≠0.

∵m,x均为整数 ∴x-1= ±1 , ±3 ∴x=2,  0,  4,-2

∴m=7 或m=-1

例3.设0<x<1,化简).

分析:将无理式化为有理式来化简,问题将变得简单,观察原式中无理式的特征,可采用换元法进行转化.

解:设,则

        

∴原式=

=·

===-1.

例4.解方程:+++…+=

分析:运用化归思想,化整体为部分,将每个分式转化为几个分式的和,问题就可迎刃而解.

解:原方程化为

+++…+=

=

整理得   解得, 

经检验,都是原方程的根.

∴原方程的根是解得, 

例5.如图,在四边形ABCD中,已知AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,且∠B=90°,求∠DAB的度数.

分析:对于给出的不规则四边形,没有现成的公式

法则进行计算,故设法对图形进行转化,化不规则为规则.

作辅助线是进行几何图形转化的常用手段,本题通过分析,

连结AC,实现了化四边形为三角形的解题思路.

解:连结AC.

∵AB:BC=2:2 ,∠B=90°

∴∠BAC=∠BCA=45°,AC=AB

设AB=2x,则AC=2x,AD=x,CD=3x,

∴∠CAD=90°   ∴∠DAB=90°+45°=135°

例6.某织布工厂有工人200名,为改善经营,增设制衣项目,已知每人每天能织布30米,或利用所织布制衣4件,制衣一件需布1.5米,将布直接出售每米可获利2元,将布制成衣出售,每件可获利25元,若每名工人只能做一项工作,且不计其他因素,设安排x名工人制衣,问该厂一天所获总利润S(元)最多为多少?

分析:该厂一天所获总利润包括两部分,分别是一天制衣所获利润和剩余布所获利润.由此可得

S=25×4x+2[30(200−x) −1.5×4x]=28x+12000

这样就将获利问题转化为x和S的一次函数关系.但要注意其中的x受到x<200的限制,还应满足一个条件,即生产中的布必须不少于制衣所需布的数量,所以还有30(200−x) 1.5×4x,得x,而制衣工人数量是整数,故制衣工人最多可安排166人.这样可获取最大总利润为28×166+12000=16648(元)

五.解决教学过程中化归的负面影响

如果我们在研究数学问题时一味地寻找旧的模式和解题经验,容易阻碍新方法和新工具产生,对发展学生的数学创新意识产生消极影响.例如,在学习“无理方程”时,通常方法是:将无理方程化归为有理方程,即“平方法”,这也是基本方法.但是在教学过程中,如果我们只是强调这种“平方法”,会影响学生的创新.在强调“基本方法”的同时,我们还要鼓励学生积极思维,发挥学生智慧的潜力,使学生学会创造性地解决问题.

例. 解下列关于的方程:

(1);(2);(3).

分析:(1) 采用常规方法,移项、再平方,将此无理方程化归为有理方程,再求解;

(2) 如果还像(1)那样,移项,两边平方,再解有理方程,这就显示受“化归”负面效应影响的结果.此时,作为教师的我们应鼓励学生积极思考,能否找到简单明了的解题方法:可先移项,仔细观察可发现,此方程在成立,故得方程的解为.

(3) 同理,由平方根的意义知,显然这样的不存在,故原方程无解.

化归思想是中学数学解题的重要思想方法,但在我们在教学过程中不能只停留在化归的分析,而必须有创新的精神,不断地进行新的研究,实现解题创新.

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