中学数学知识“过程性”教学实践初探

　　陈汉潮

　　摘要：指出了知识“过程性”教学的基本思想，从两个不同教学例子来看知识“过程性”教学，最后给出教学中应注意的几个问题。

　　关键词：知识“过程性” 建构 结果知识 语境背景

　　《全日制义务教育数学课程标准》(以下简称《标准》)建议让学生经历知识的形成与应用过程[1]，要求教师采用知识“过程性”教学模式，促进学生数学知识体系的建构。

　　一、知识“过程性”教学的基本思想

　　同一类数学题讲过多遍了，自然会形成某种“教学积淀”，这种“教学积淀”通常外显出如下的基本特征：“题还是那类题，教师还是那教师，教法也还是那教法”。什么教法?一种按已有经验和既定程序有条不紊的简单重复之法，这里，“知识为本，教师主体”，课堂内一灌到底的是数学知识。[2]我们也不少听到“这类题我都讲了三遍了，怎么学生还不会?”在教学中我们发现，类似的题学生听过，做过，但遇到一种新的情景时又不知如何办才好?问题在于学生没有真正领会这个知识点。假如教学时，不把数学知识一灌到底，而是让学生经历知识是怎样形成的，结果应该是不同的。数学概念的形成和定理的发现，都经历了观察、分析、抽象、概括等过程，由于数学概念和定理通常以逻辑推理的形式出现，导致人们看不到被发现、创造的艰难历程，因此，教学中，教师应创设语境背景，激发学生的求知欲，引导学生积极参与数学活动过程，通过概念的形成和定理的发现，使学生体验数学知识得以产生的基础以及获得这一知识的程序与技巧，逐步领悟、灵活运用，最终形成数学思想方法。

　　二、从两个不同教学例子看知识“过程性”教学

　　1.对平行四边形面积公式教学的反思

　　韦特海默在《创造性思维》一书中叙述了这样一个教学例子[3]：

　　在一节“平行四边形面积”的公开课上，主讲教师设计了如下教学过程：

　　(1)复习长方形面积的求法。教师问：“上一节课，我们学习了长方形

　　面积的求法，你们都懂了吗?”学生答：“懂了!长方形面积等于两边之积。”教师接着提出了几个大小不同的长方形问题，学生很容易地解答出来了。

　　(2)教师画出平行四边形，并给出平行四边形的定义。

　　(3)教师给出平行四边形的面积公式，并证明之：如图1。

　　D C

　　A E B F

　　图1

　　过D引垂线DE，得△AED，过C引垂线CF，得△BFC，由于两个三角形全等，因此，平行四边形ABCD的面积等于长方形EFCD的面积。每进行一步，教师都根据已学过的定理、公式和公理，阐明相等和全等的概念。最后得证平行四边形面积公式。

　　(4)练习。教师举出许多大小，边长，角度各不相同的平行四边形要

　　求学生求出它们的面积。

为了检验自己的教学效果，教师让一个学生在黑板上演示求平行四边形面积的求法，学生准确无误，教师对自己的教学效果颇为自得，许多人也以为这节课很好，达到了教学目的。然而韦特海默却想：“学生学到了什么呢?他们思考了没有?他们掌握了要点没有?”很可能，他们所做的与盲目的重复几乎没有什么差别。为此，他向学生画了一个图(如图2)，请学生求出面积。有些学生吃了一惊。有一个学生举手：“我们还没有学过这个样的。”其他学生模仿老师上一节课的证明，画出了图，然后有点惶惑，不知所措，另有些学生却容光焕发，画出了辅助线(如图3)，或把纸转45°，再画出辅助线。 图2 图3

　　显然，上述结果表明，大多数学生并没有理解所学内容，而是通过机械记忆和重复，记住了相应的结论和操作方法。

　　从上面的例子中可以看到，学生在课堂上所看到的、听到的，都不需要通过理解：全部步骤都是从天而降的;步骤的内容、方向，整个过程不是由于情景的内在要求合理地产生出来的。学生不知道为什么长方形的面积公式就是S=ab.为什么平行四方形的面积公式就可以这样证出来。更可怜的是：有了平行四边形的面积公式，他们却不知如何利用它。这些都因为学生没经历这个公式的形成过程，知其然不知其所以然。在这里，建议教师不要把自己当成是一个结果知识的传授者或是一个从天而降的“救世主”，应该鼓励学生，激发他们的探索欲望，让他们通过独立的或合作的、充分的思维来获得知识，而不是辛苦地“坐享其成”。事实上对于长方形的面积公式S=ab不应仅仅理解为“两数之积”，而应该引导学生建立图形(如下图)

　　理解a代表一行中单位正方形数目，b代表一列中单位正方形的数目。因而，a与b在结构上和机能上都有不同含义。事实上，长方形面积在结构上的基本特征是(以长与宽都是整数为例)：每一行的单位正方形数目都相等。对这样的结构的理解程度直接决定了相关知识在后续学习中的质和量。在上平行四边形面积公式时，建议不要由教师一手操办：给出公式并证之，而是让学生自己去探索，引导他们找出平行四边形与长方形之间的内在联系。这样，教师只要稍作指导学生就可以自己改造平行四边形，把它转化为矩形，从而得出平行四边形的面积公式。可设想，等步入梯形面积公式时，会惊奇的发现：学生早已导出了梯形的面积公式，真可谓“触类旁通”，举一反三。因此，教学中教师应该事先对相应的数学主题做充分的分析：核心是什么，要求达到什么目的，涉及什么方法。然后引导学生自主观察、操作，经历知识的形成。

　　同样的内容，用知识“过程性”教学比用传统的教授法要多花许多时间，那么这样教划算吗?这是值得的。因为这样的教学过程，使学生“设身处地”地“体验”两个不同的角色在争论中起到的不同作用，使学生可以更透彻地认识定义，更好运用它，在运用中又不断加深对它的理解。这个过程中，学生在教师设立了语境背景下“主动建构——有效理解——自我确认”，比起仅仅从外部接受一个教师所给的数学结论要深刻得多。相信学生以后很难把这个知识忘掉，相隔很长一段时间后，学生对上课的场景还会历历在目，一开始还不大能理解这节课的同学，或许会在月余后突然全懂“阿呆”、“阿歪”是怎么一回事了。

　　三、知识“过程性”教学中必须关注的几个问题

　　1、着力知识“过程性”的创造

　　教师必须意识到知识“过程性”教学的重要性，改变教师只是一个显性结果知识的传授者。应当树立这样的观念：知识“过程性”教学在结果知识获取方面可以起到基础的、辅助的和向导的作用，更重要的是知识“过程性”教学负载有大量知识，也是培养良好数学素质的载体。因此，数学教学应更多地关注知识“过程性”教学，力求设计多样化的数学活动形式，创设恰当的问题情境，提供观察、实验、操作、猜想、归纳验证等方面丰富、直观、具有生动性的背景、材料，蕴涵数学化过程，反映出思维动向，帮助、引导学生参加数学活动，竭力使学生在知识“过程性”教学上完成知识的建构活动。

　　2、注意知识“过程性”中知识的恰当表征

　　在知识“过程性”教学中，往往有一些知识具有潜隐性、隐蔽性、模糊性、粗泛性，也难免盲目和片面。因此，应当注意在教学过程中对知识的恰当表征。如建构“数学共同体”，真诚、自由的和谐交流环境，使学生能不受约束地将自己在活动中的所感、所思、所悟伴随着具体的见解和认识模式显现出来，并在此基础上进行检讨、修正、批判和利用;帮助学生将那些过程中难以说清的知识用一些符号，如概念图式、关系网、类比码等表征出来，并对它们进行理性分析和检验。

　　3、教师不要充当学生的代言人

　　在应用知识时，一些教师会因为担心学生解题有困难，于是很自然地充当学生的代言人，让学生觉得既然老师会讲又何必我们动脑筋。这会让学生过分依赖教师，阻碍学生的独立思维创造激情。其实，教师不能轻易说出解决问题的秘密，应着力培养他们的自信心和自己吸取知识的习惯，允许学生有思考的困惑和探索的艰苦，允许学生有错误，教师的重要任务就是引导学生努力探索、克服困难，一步步迈向成功，为学生创造最近发展区。然而也不是说每一个环节都要学生自己去完成的，对于一些学生已意会、理解，然而又比较分散的知识，如果归纳总结难度高，教师可以帮助归纳总结。这样做并不是在挫伤学生的独立能力，要知道学生的知识能力水平有限，适当的帮助能让知识在学生思维中变得系统、清晰，从而更深刻。学生才不会因为知识太零散而越来越模糊以至褪去。

　　4、对知识“过程性”的客观评价

　　就目前课堂教学而言，效果优劣的评判总是围绕着结果知识的掌握而展开。单纯的结果知识的评价范式，缺乏对学生总体数学活动的客观认识，很容易挫伤学生“做数学”、“体验数学”的积极性，从而阻碍学生创新能力的提高。如果学生以自己的活动方式掌握定理，也不应该以一个“什么都没学会”去定论他在数学活动中的感悟、体验。甚至，经历的失败也是达到高水平数学理解所必需的中间阶梯。因此，知识“过程性”教学应该是数学课堂教学改革的重要环节。

　　四、结束语

　　教学实践表明，知识“过程性”教学能够激发学生的学习动机和好奇心，培养学生的求知欲望，调动学生学习的主动性和积极性，提高学生运用知识解决问题的能力，同时又使课堂教学丰富多彩，生动活泼，另外，对教师也提出了更高要求，不仅自己要刻苦钻研，精心设计，而且要敢于示范，在学生面前展示自己的思维过程，选择合适的方式引导学生监控，调节自己的数学活动过程。在教学中应打破“教师讲，学生听”的习惯，变“传播”为“探究”，充分暴露知识的形成过程，促使学生以探索者的身份去发现问题，总结规律，获得成功，同时激发学生钻研，从而为学生将来成为创造型人才奠定基础。