数学思维与观察能力的培养

【内容提要】：培养学生的观察能力是数学教学的一个重要任务，因此在教学中如何培养学生的观察能力，就是有意识地对引导学生进行事物的数和形的特点感知活动，通过对符号、字母、数字或文字所表示的数学关系式、命题、几何图形的结构特点进行的察看，提高学生的数学素质，学会从数学思维的角度去观察周围的世界，养成留心观察周围事物的习惯，使学生学会观察，善于观察，使学生终生受益，以充分发挥数学教学在学生全面素质教育的重要作用。

关键词：素质教育   数学思维   数学观察能力  

教育部颁布的《数学课程标准解读》中提出了“学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动”，“要给学生一双能用数学视角观察世界的眼睛”。 数学学习中的观察是人们对事物或问题的特征通过视觉获取信息，运用思维辨认其形式、结构和数量关系，从而发现某些数学规律和性质的方法。 在数学教学中培养学生的观察能力，就是把观察作为认识的基础，作为思想的触觉，对学生注意能力、观察能力、记忆能力、运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、抽象概括能力、迁移能力、分析与解决问题能力等多种能力综合培养，具备比较完整的数学能力与数学素养，以提高学生在现实生活中认知问题，解决问题的能力，进而提高学生探究认知事物发展规律的能力，使学生充分认识到数学知识来源于生活，服务于生活，达到学以致用，学用相长的素质教育目的，真正实现数学教学的目标。

结合我们多年来的教学实践，教学中培养学生观察力从以下几个方面入手。

一、注重激起学生探求知识、学习观察的兴趣和欲望

我国古代大教育家说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”，良好的观察兴趣和欲望，不仅使学生获得知识，而且还能使学生在充满兴趣的学习活动中往往伴着积极愉快的情绪，从而把注意力长时间指向集中于学习活动，倾注全部的热情和力量克服学习过程中的种种困难，充分调动积极性。所以，教师在课前、课上、课后就要多创造条件给学生观察的机会，激发学生求知欲望，使学生对学习具有浓厚的兴趣。如在教学《几何》第一册“两点之间线段最短”的公理时，提出这样的问题：从上海到广州，可以乘火车，路程约1811公里；也可以坐轮船，航程1690公里；还可以乘坐飞机，行程1200公里，为什么坐飞机路程最短？因为陆路或水路交通受地形、水情的限制，路线弯弯曲曲，而飞机在空中飞行，所受条件限制较少，一般情况下是沿直线前进的，所以坐飞机的路程最短。丝瓜、牵牛花的茎细弱而蔓长，为采取阳光，它们攀附在近似于圆柱体的树干上，如果把圆柱体的侧面展开就得到一个长方形，而茎蔓缠绕的轨迹则是这长方形的对角线。由此可知，“在连结的两点的线中，线段最短”这个真理渗透在大千世界，不仅为人类所承认，就连一般的动植物也要遵循，使他们感到数学“真神奇”。油然而生的好奇心又使学生对观察具有浓厚的兴趣，促进他们进一步观察，寻求新的知识，从而使学生的观察由无意观察逐步向有意观察过渡，培养了观察的持久性。

二、注重培养学生正确的思维观察模式、方法

思维通常是从观察教学对象开始，结合运用其他方式才能获得关于客观事物的本质和规律的认识。数学观察，无论是图形的识别、数据之间关系的把握，还是基本规律的发现、综合分析能力的提高都离不开认真、仔细的观察。观察、发现是学会数学思维的过程中必需的、第一位的方法。而正确的观察方法，对学生观察能力的培养具有重要的推动作用。因此，在教学中，要针对学生在心理缺乏观察事物所必须具备的基本素质，在掌握知识经验的水平上缺乏观察的能力和数学教学的特点，可以考虑利用多媒体教学或启发式教学，引导学生学会用眼睛观察、欣赏同类型题的变化，保证观察的正确性。

1、引导学生用“联系”的哲学观点观察部分与整体的关系

数学不仅仅是数理间的关系，还与其他学科具有紧密的知识联系。我们在进行数学观察时，要注重把政治教学中有关哲学思辩的思想和方法在“不知不觉”中引导和发散学生思维模式。比如，整体与部分的关系中，要引导学生在观察的整体的同时，还应观察其部分的特点，从整体看部分，从部分中把握整体，这样，才能抓住解决问题的关键，使解题简化。

    例：计算 1＋2＋3＋…＋100

    许多学生一看到题就将数一个一个累加，当然能够算出结果，但比较麻烦。此时可以启发学生去观察思维，会发现它们隐含的规律，1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……如此类推一共有50个101，两者相乘，轻而易举地解决了问题。

2、引导学生学会发散性观察思维，寻求多样解题途径

发散性观察思维，就是在教学中引导学生在多样性的数量、数理关系中发现数量、数理演变的规律，达到举一反三、触类旁通。比如，有些数学题，教师可以对例题进行有目的、多角度的演变，调换命题的题设和结论，指导学生经过一题多变的观察和思考，在解题过程中开阔思路, 寻求多种方法解决问题，使学生认识到“办法总比问题多”。这就是我们数学教育在学生全面素质教育中的一个重要命题，可以让学生体会到：可以在人生观、世界观方面同样具有教育的意义和优势。

例1.已知一个多边形的每个内角都等于1350，求这个多边形的边数。

解：设这个多边形的边数为n，则(n-2)·180=135o·n，解之得n=8，∴这个多边数是8

变式1   已知一个多边形内角和是10800，求这个多边形的边数。

变式2   已知一个多边形的边数是8，求这个多边形的内角和。 以上两变式的解法都用原例同一关系式，解法略。

变式3   已知一个正多边形的外角是450,求这个正多边形内角和。  

解：设这个多边形的边数为n，而它的每个外角都等于450，则n·450=3600   ∴n=8

变式4   已知多边形的内角和与某一个外角的度数总和为11800，求此多边形的边数。

解：设这个多边形为n边形，且这个外角为x度，则00＜x＜1800，依题意得

(n-2)·1800+x=11800,即(n-2)1800=11800-x

由于左边是1800的整数倍，故11800-x也必是1800的整数倍。即11800-x=n·1800(n为自然数)，故x必是11800÷1800的余数11800÷1800=8……1000

∴x=1000，由(n-2)1800=11800-1000，得n=8

以上变式从不同角度调换例题的题设和结论，解法不尽相同，但是它们都依据了多边形内角和公式和外角和公式，这样教学，为学生从不同角度去观察问题，思考问题,用不同方法解决问题提供了丰富的材料，使学生的知识在更广阔的领域内进行循环，观察的灵活性得以培养和训练，在突破学生定向性思维模式上具有一定的意义。

3、引导学生寓观察分析中学会探索数理和事物发展的规律

客观事物是复杂的，人们难以对客观事物全部、清晰地认知，只是有选择地以少数事物作为感知对象，在知识发现的过程中，需要对事物进行表面的和深入的，整体的和部分的，顺向的和逆向的多方面的观察，寻求规律。比如，有这样一道题：

观察下面式子，根据你得到的规律回答。

 =_______ =__________  =_______

则  (2n个1，n个2)的值是_________        

在从具体事例概括出定义的观察时，要注意寻找它们共同的本质属性，在从特殊现象过渡到一般结论时，要观察特殊与一般的区别和联系等。通过引导学生学习运用观察分析数字、数理间的联系，发现“事物演变”的规律，于是，这一道看似复杂的题通过观察、比较、分析，探索题目的隐性规律，便很容易地得到了答案是n个3。

因此，我们在观察时，应能根据观察的目的，抓住对象组成特点，寻求对象的内在规律，确定某种观察程序，保证能在复杂的问题中全面反映事物的某种属性。例如：在图中，AB∥DC，AD∥BC，EF∥AD，写出图中相等的内错角。

                         A     B       E

                       D     C      F

由于学生初学几何，学生在观察时不一定按顺序进行观察，从而不能得出完整答案。为了观察的全面性，教师可以告诉学生应根据已知条件和要求，结合图形，按部就班，由AB∥DC，AB、DC分别被直线BD、EF、AC所截，从而找出相等的内错角；由EF∥AD，EF、AD被DO、AO所截；由AD∥BC，AD、BC被BD、AC所截，∵AD∥BC，EF∥AD，∴EF∥BC，EF、BC被BO、CO所截；这样我们就很容易全面地找到相等的内错角。
   另外，观察不要满足了解事物的全貌，还应把握事物的特征。通过观察发现事物的隐含条件，根据事物的特征，归纳、概括出事物的发展变化规律。

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三、注重培养学生良好的数学思维观察品质和能力

数学思维观察是哲学思维方法的运用，我们在教学实践中要善于站在哲学的高度，用矛盾的观点、运动的观点启发学生做每一道数学题，分析每一件事物，重视对学生观察的指导，引导学生树立良好的观察品质，有目的地、全面地、精确地、深刻地、有序地观察数理、空间、结构等，发展学生的观察力，在此基础上，使学生逐步概括，发现知识规律，从而学会科学地思维，开发学生智力。

1、注重在概念教学中培养学生数学观察的目标定向能力

培养目标定向能力，就是引导学生把数学观察当成是掌握知识，获得数学思维能力的方式。由于学生对观察材料缺乏全部感知的能力，总是有选择地以少数事物作为知觉的对象。在教学过程中，对观察对象叙述的语言要准确，提出观察任务时目标要明确，分析时要紧紧围绕确定的观察目的。例如，计算①(2x+1)(2x-1)②(5y-x)(-5y-x)③(3x+2y-1)(3x-2y+1)可提出如下观察要求：1、每道题的两个多项式有何特征？2能否转化为平方差公式？通过提问，让学生有目的、分层次地观察，积极主动地感知观察对象，实现观察目的。在概念教学中，要展示实物，尽可能地让学生观察，抽取其本质属性。如学习数轴时，可先拿出温度计让学生观察：一支横放的温度计，0刻度线表示0℃，以0刻度线为起点，向右一个单位刻度表示+1℃，向右两个单位刻度表示+2℃，向左一个单位刻度表示－1℃，向左两个单位刻度表示－2℃。这就是说，可以用直线上的点来表示有理数。接下来，一边在黑板上慢慢地画出数轴，一边要求学生观察画图动作，说明数轴的特征，从而得出数轴的概念。又如学习相反数和绝对值时，先把下列各数：2和－2；3.5和－3.5在数轴上表示出来，让学生观察、发现：表示相反数的两个点分别在原点的两侧，并且到原点的距离相等；一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。学生通过主动观察、比较、分析，可以得出相反数和绝对值的概念。

通过这样的概念使学生感知活动按预定的方向和目标进行，使他们从被动接受知识而进行观察转变为主动地、自觉地、有意识地观察，培养了观察的目的性。

2、注重在运算法则教学中培养数学观察的数理概括能力

培养数理概括能力，就是引导学生学会观察数理间逻辑规律，运用数学的方法推理理论，培养学生的一定抽象能力和比较缜密概括能力。例如，以贴近学生的生活实际和兴趣，针对初一的有理数加法的七种情形，可以设计具体的生活情境：如将被加数表示成某人从A地出发，第一次向东或向西走的距离，加数表示成第二次向东或向西走的距离，则他现在A地什么方向的多少距离，就对应着一个“和”。让学生自己观察、判断，把具体的两数和分成七种情况：正数+正数，负数+负数，正数+负数，负数+正数，正数+零，负数+零，零+零。再让学生通过观察、归纳、比较，进一步抽象概括为三种情形：同号两数相加，异号两数相加，一个数（包括零）与零相加。

通过上述实例的观察、抽象、推广，展现了运算法则的概括过程，从而培养了观察的概括性。

3、注重在分析问题中培养数学观察的差异分辨能力

培养差异分辨能力，就是要求学生学习运用特殊化和一般化和观察认识方法，既能把数学问题从原来的范围缩小到一个较小范围或个别情形进行考察研究，又学会将观察对象从原来范围扩展到更大范围进行考察和研究，做到了解事物的全貌的同时，更能精确把握事物的特征，对不同事物既能发现它们的相似点，又能辨别它们的细微差别。要充分利用各种教学手段，如列表比较、对比观察等，利用现代教学手段，通过形象直观、富有动感的图片、画面，启迪学生发现观察对象的特征，揭示观察对象的本质。对问题的观察要仔细、要深刻、要全面、要精确。做到既不重复，也不遗漏。这样做不但有利于对概念的掌握，而且还使学生对事物的观察越来越精确。

例如：初三几何中，传授圆和圆的位置关系时，自做两个半径不等的圆，类比直线和圆的位置关系，从位置上看，找交点；从数量上看找圆心和直线的距离。将大圆固定，移动小圆，自远而近，先是没有交点→有一个交点→有二个交点→有一个交点→没有交点；根据直线和圆的位置关系，可得圆与圆相离、相切、相交，而由数量关系（即两圆心与两圆的半径和差关系看，相离时d>R+r、d<R-r，相切时d=R r，相交时R-r<d<R+r；结合实例，学生头脑中即可像放电影一样掠过圆与圆之间可能出现的形状，类比直线和圆的位置关系，得出圆与圆的位置关系：外离、内含、外切、内切、相交。

在教学中，要根据教学内容，对学生进行长期的有目的的训练，提高对观察作用的认识和兴趣，逐步培养学生的观察能力。

4 注重在在解决问题中培养数学观察的辩证联系能力

培养辩证联系能力，就是引导学生学会运用哲学思维中联系的、全面的、发展的、运动的观点去观察问题、解决问题，要求通过观察反映事物的全貌以及事物的组成部分和相互联系，在较为复杂结构的图形中全面反映事物的某种属性，指出在某种特定的情况下感知对象所能发生的各种可能性。

例如：已知⊙o1、⊙o2的半径分别为30cm、5cm，且⊙o1与⊙o2相切，那么这两圆的圆心距为多少？(两圆相切，有内切与外切的两种可能)在观察中，由于学生缺乏对事物之间内在联系的全面理解，导致感知的对象不能反映各种可能的现象经常发生。在教学过程中，要帮助学生把握事物的基本属性，在初步观察的基础上，分析观察对象内在的规律性，鼓励学生依照一定的程序，深入观察。同时，要及时对观察的结果提出自己的观点，与学生相互讨论，对学生观察中出现的遗漏，要分析原因，加以补救，使观察结论全面、完整。

5、注重在在思维训练中培养数学观察的深广渗透能力

培养深广渗透能力，就是引导学生学习运用归纳与演绎的方法，综合与分析的方法，一方面要求学生能够洞察对象本质以及揭示对象间的相互关系，能够抓住问题的本质和规律，对问题进行深入细致的分析；另一方面又要求学生思路开阔，能够从多方面、多角度地分析问题和解决问题，提高学生的思维能力。这是反映数学观察活动的抽象程度和逻辑水平的重要体现，它反映数学思维活动的广度和深度。因此，观察必须始终与思维训练紧密结合，尤其要重视对观察对象隐含条件的发掘，通过观察能力的培养，逐步使学生的数学思考意识抽象概括化、思考对象形式化、思考过程逻辑化、思考结果应用化。

例如：若a2b3<0 ，化简-2ab|- a5(-b7)|

对此题进行观察要仔细，抓住题目的特点，根据已知条件应先去掉绝对值符号，观察绝对值里面的是负数、零、还是正数。然后，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，进行计算、化简。

解：因为a2b3<0，所以a 0，b<0，所以分a>0和a<0两种情况。

① 当a>0时，原式=-2ab| a5b7|=-2ab(- a5b7)=a6b8；

②当a<0时，原式=-2ab| a5b7|=-2ab× a5b7=-a6b8。

点拨：解此题要注意根据已知条件，分析a>0和a<0两种情况，再根据绝对值的意义进行化简，化简时要注意系数符号。

在分析解决问题中，运用合理的观察方法，按照由整体到部分，或由部分到整体等一定的顺序进行全面观察，抓住题目的特征，边观察边思考，使观察与思维互相渗透，达到观察与思维的深度广度的高度统一。

总之，数学教学具有数学本身的特点，在教学中，要根据教学内容，以培养和发展学生的运算能力、处理数据的能力、逻辑思维能力、空间想象能力、数学信息的表达和交流能力为目的，通过学习运用数学思维中具有丰富哲学思想的思维，对学生进行长期的有目的的训练，提高对观察作用的认识和兴趣，逐步培养学生的观察能力：要运用多种手段，激发学生的观察兴趣；通过训练，使学生掌握观察的基本方法，具有良好的观察品质，逐步养成主动观察、善于观察的习惯，使数学教学更好地适应素质教育的需要。

[附]参考文献：

       1   人民教育出版社初中版《几何》第一册，第三册。

       2   人民教育出版社初中版《代数》第一册、第二册。

       3    华东师范大学出版社  《教材知识详解》，八年级数学。

       4    万三英《学校教育心理学》人民教育出版社，1992年版

       5    王子兴: 《中学数学教育心理研究》，湖南师范大学出版社，1999年第一版。