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0w.net 浅析应用二阶导数求函数的单调性 ◎蔡圣兵 徐春桃
●定义：函数f（x）的（一阶）导函数f′（x）在x的导数，称为函数f（x）在x的二阶导数，表示为f″（x），即f″（x）=limΔx→0f′(x+Δx)－f′(x)Δx．
笔者对应用二阶导数来研究函数的单调性作了小许尝试，下面就以部分地区的调研试题为例作说明：
例1：（2007年东北三校）若函数f（x）=sinxx，且0＜x1＜x2＜1，设a=sinx1x1，b=sinx2x2，则a、b的大小关系是（）
A．a＞bB．a＜b
C．a=bD．a、b的大小不能确定
【解析】此题很容易想到去研究函数y=sinxx在x∈（0，1）的单调性．由f（x）=sinxx得f′（x）=xcosx－sinxx2，再记g（x）=xcosx－sinx，∴g′（x）=－xsinx+cosx－cosx=－xsinx，∵0＜x＜1，∴g′（x）＜0，即函数g（x）在（0，1）上是减函数，∴g（x）＜g（0）=0，因此f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，1）是减函数，∴f（x1）＞f（x2），即a＞b，故选A．
【点评】本题用二阶导数的思想研究y=g（x）的单调性，从而达到求y=f（x）单调性的目的．当然，本题也可以如下处理：由f′（x）=xcosx－sinxx2=cosx(x－tanx)x2，又x∈（0，1）（0，π2），我们易证x＜tanx，∴f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）单调递减，∴f（x1）＞f（x2），即a＞b，因此选A．
例2：（2008黄冈模拟）已知函数f（x）=1+ln(x+1)x（x＞0）．
（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2）若当x＞0时，f（x）＞kx+1恒成立，求正整数k的最小值．
【解析】第（1）问可直接求导得f′（x）=－1x2［1x+1+ln（x+1）］，易知f′（x）＜0，故函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．
第（2）问：当x＞0时，f（x）＞kx+1恒成立．
即h（x）=(x+1)［1+ln(x+1)］x＞k对任意x＞0恒成立．
也即h（x）（x＞0）的最小值大于k．
又h′（x）=x－1－ln(x+1)x2
又记φ（x）=x－1－ln（x+1）（x＞0）
则φ′（x）=1x+1＞0
∴φ（x）在（0，+∞）上连续递增．
又φ（2）=1－ln3＜0，φ（3）=2－2ln2＞0即φ（2）φ（3）＜0
∴φ（x）=0存在唯一根x=m，且m∈（2，3）
即φ（m）=0，也即m－1－ln（m+1）=0
∴x（0，m）m（m，+∞）φ（x）－0+h′（x）－0+h（x）↘极小值↗∴h（x）min=h（m）=(m+1)［1+ln(m+1)］m=（m+1）mm=m+1
∴k＜m+1
又m+1∈（3，4）
故正整数k的最大值为3．
【评注】此题也是通过研究φ（x）的单调性进而来确定f（x）的单调性．另外，我们也可以按以下思路处理：先取x=1，计算得k＜2（1+ln2）＜4，并由此猜想k的最大值为3，然后再进行论证（请同学们自己尝试）．
例3：（武汉市2009届高中毕业生二月调研考试）已知函数f（x）=sinx3cosx－x．（0＜x＜π2）．
（1）求f（x）的导数f′（x）；
（2）求证：不等式sin3x＞x3cosx在（0，π2］上恒成立；
（3）求g（x）=1sin2x－1x2（0＜x≤π2）的最大值．
【解析】（1）直接用公式求解得f′（x）=cos23x+13sin2xcos－43x－1.
（2）记G（x）=f′（x）=cos23x+13sin2xcos－43x－1，则
G′（x）=23cos-13x(－sinx)+13［2sinx
cosxcos－43x+sin2x(－43)cos－73x(－sinx)］=49sin3xcos－73x＞0.
即G′（x）＞0在x∈（0，π2）恒成立．
∴G（x）在x∈（0，π2）为增函数．
∴G（x）＞G（0）=0，也即f′（x）＞0在x∈（0，π2）恒成立．
∴f（x）在x∈（0，π2）也为增函数．
∴f（x）＞f（0）=0，即sinx3cosx＞xsin3x＞x3cosx．
又当x=π2时，经计算sin3x＞x3cosx成立．
于是sin3x－x3cosx＞0在x∈（0，π2］上恒成立．
（3）由（2）知g′（x）=2(sin3x－x3cosx)x3sin3x＞0在x∈（0，π2］恒成立．
∴g（x）在（0，π2］上单调递增．
∴g（x）≤g（π2）=1－4π2．
∴g（x）的最大值为1－4π2．
【点评】此题是2009年武汉市二月调考的压轴题，从学生的答卷来看，第（2）问得分不够理想，假若同学们熟知二阶导数的思想，那问题就可迎刃而解了．
导数的应用已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最（极）值问题已成为炙手可热的热点．
导数应用在高考中经历了2004年的“课本变式”期，2005年、2006年的“基本应用”期，2007年、2008年的“灵活运用”期，我认为现在我们要特别关注导数应用的创新，而高等数学知识的下放又是创新的一个重要方面，因此，二阶导数的合理使用应是我们复习关注的重点．
（原载2009年6月《语数外学习》） 来
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