主元思想——多元变量问题的突破口

主元思想——多元变量问题的突破口

◎赵光新

在处理多变元变量的数学问题时，在思考方式上，我们可以把两个或多个对象的地位或角色进行转换，将其中的某一变量看作“主元”，而把其它的变元看作常量，从而减少变元，简化运算．利用这种思维策略，对于培养学生良好的思维品质，提高研究问题和解决问题的能力大有裨益．
一、“主元思想”确定恒成立问题中的变量范围
【例1】若x∈(0，13］，不等式1+x+(a－a2)x2＞0恒成立，求a的范围．
解：将原不等式化为关于a的二次不等式x2a2－x2a－(x+1)＜0，即［ax－(x+1)］(ax+1)＜0.
∵x∈(0，13］
∴不等式的解为{a|－1x<a<1+1x，且1x≥3}．
∴（－1x）max＜a＜（1+1x）min∴－3＜a＜4即a的范围为(－3，4)．
注：将不等式中的参数与变量地位对换，反客为主，由于思考的主要对象或方向发生了变化，通过解不等式，找到解题突破口，实现难题巧解，繁题简解．
【例2】设p=(log2x)2+(t－2)log2x+1－t，当t∈［－2，2］时恒有p＞0，求x的范围．
解：将p看成是关于t的一次函数，p=f(t)=(log2x－1)t+log22x－2log2x+1.
∵t∈［－2，2］时p＞0恒成立，一次函数为单调函数
∴f(－2)>0
f(2)>0
∴(－2)log2x+log22x－2log2x+1>0
2(log2x－1)+log22x－2log2x+1>0
解得x＞8或0＜x＜1．
注：换位思考后，将二元变为一元，避免了参数与对称轴相对位置的讨论．
二、主元思想证不等式
【例3】已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：abc+2＞a+b+c．
析：本题用常规方法较难，若利用主元思想，将问题转化为函数，利用函数性质求解，使问题迎刃而解．
解：将a、b、c中的a看成“主元”，将bc看成常数，构造一次函数．
设f(x)=(bc－1)x－b－c+2，
∴f(－1)=－(bc－1)－b－c+2=4－(b+1)(c+1)．
∵|b|＜1，|c|＜1，∴0＜b+1＜2，0＜c+1＜2．
∴0＜(b+1)(c+1)＜4，∴f(－1)＞0．
又f(1)=(bc－1)－b－c+2=(b－1)(c－1)＞0，
∴f(x)在(－1，1)上恒大于0．
∵|a|＜1，∴f(a)＞0．
∴(bc－1)a－b－c+2＞0，即abc+2＞a+b+c．
【例4】若0＜a＜1b，求证：b－b2＜1a+1．
法1：将a视为“主元”，构造一次函数．
证明：由条件0＜a＜1b即a∈(0，1b)，
若将a视为未知数，用x代替，即证．
x∈(0，1b)时，(b－b2)＜1x+1，即(b－b2)(x+1)－1＜0．
设f(x)=(b－b2)x+(b－b2)－1即证x∈(0，1b)时，f(x)＜0．而f(x)为x的一次函数，且f(0)=b－b2－1=－(b2－b+1)＜0，f(1b)=b2＜0．
∴当x∈(0，1b)，f(x)＜0成立．∴原不等式成立．
法2：若将b看作“主元”构造二次函数
证明：由0＜a＜1b，得0＜b＜1a．
将b看作未知数，通过二次函数的性质来完成．
设g(x)=x2－x+1a+1(0＜x＜1a)，对称轴为x=12．
(1)当1a≤12即a≥2时，g(x)在(0，1a)上是减函数，
∴x∈(0，1a)时，g(x)＞g(1a)=1a2－1a+1a+1=1a2(a+1)＞0．
(2)当1a＞12时，x∈(0，1a)时，g(x)≥g(12)=1a+1－14＞0．
综合(1)(2)知：x∈(0，1a)时，x2－x+1a+1＞0恒成立，即x－x2＜1a+1．∴原不等式成立．
三、“主元思想”求解最值
【例5】已知F(a，θ)=a2+2asinθ+2a2+2acosθ+2（a，θ∈R，a≠0），那么对于任意的a，θ，F(a，θ)的取值范围为．
解：设a为主元，令a2+2asinθ+2a2+2acosθ+2=y，
∴(y－1)a2+a(2ycosθ－2sinθ)+2y－2=0
∵Δ≥0，即(ycosθ－sinθ)2≥2(y－1)2
∴(y2+1)cos2(θ+φ)≥2(y－1)2
∴2(y－1)2y2+1≤cos2(θ+φ)≤1．
∴2－3≤y≤2+3．
【例6】设实数x、y＞0，且x、y满足xy=x－y，则x的最小值为．
解：视y为主元，将上式变为y2－xy+x=0．
∵方程有根，∴Δ≥0，即x2－4x≥0．
∴x≥4或x≤0（舍去）．
∴x的最小值为4．

（原载2007年1月《少年智力开发报》）