基础课程与专业课程整合初探——由一道统计题引发的数学思考

 摘要：文章通过对一道统计题进行分析，联系相关的数学知识：从数列的概念、分段函数、函数的单调性和概率论——变量分布四个方面，把数学知识与统计知识结合起来，初步探究基础课程与专业课程的整合，做到基础课为专业课服务，体现数学来源于生活又应用于生活的实用价值。
　　关键词：数学问题；课程整合；实用价值
　　中图分类号： G640           文献标识码：A
　　文章编号：1002-7661（2008）06-0103-03
　　
　　问题：对某班40名学生某次考试成绩按试卷登记得到如下资料：
64  70  89  64  56  95  98  79   88  88  78  89  60  78  68  79  79  95  68  60  78  89  100  46  75  84  78  64  78  85  85  79  70  84  68  75  89  75   78  75
      请运用所学的统计知识对这次考试进行成绩分析。
      是高等教育出版社第二版《统计原理》第二章中要解决的问题。调查表明，在专业课程学习的过程中，其中部分知识，特别是统计图的分析，学生普遍反映难学，老师教得也比较吃力。
　　主要表现在以下几个方面：
　　1.数量对应关系模糊不清；
　　2.不理解统计图所采用的坐标系的含义；
　　3.难以借助图形的变化趋势进行问题分析；
　　4.数式、表格、图形的结合能力差。
　　解决这一问题牵涉多方面的数学知识，如数列，函数的性质与图象特征，概率论中的变量分布。
　　但是数学概念及公式定理与统计学名词、概念的说法有一些区别，统计图表也有其专业特色，不同于数学图象的抽象和严谨。学生在学习专业课程时，难以联系到数学基础知识，更谈不上知识迁移的灵活运用，也造成了“数学有什么用”的普遍疑问。那么我们怎样揭开数学抽象晦涩的面纱，让学生感受到数学的可亲可近呢？我认为最关键的是要改变数学课程重理论、轻应用的现状。
　　下面我针对财经专业，以上面的统计问题为例，初步探如何在数学教学中渗透相关的专业知识，凸现数学知识的实用性。
　　一、数列的概念
      以学生熟悉的实际例子讲解数列、数列的项、数列的前n项的和的定义。如前面问题中的成绩是按照登记的顺序排列的一列数，也就是一个数列，这个数列中的每一个数都叫做这个的项，一共有40项，其中第一个数——64——就叫做第一项，它的第十项是88，100是第23项。把这40个数加在一起就得到这个数列的40项的和S40=3100，从而算出班平均成绩为75分。这样的例子让学生看到了有用的数列，数列的项、数列的前n项的和等概念都有着实实在在的含义。在次基础上，衍生出各类数列，深化和巩固数学概念。
　　例如：这样登记的成绩是分散的、凌乱的，为了对这次考试进行成绩分析，我们进行如下的分组整理：
         90～100分   4人
         80～89分    10人
         70～79分    16人
         60～69分    8人
         60分以下      2人
　　由4，10，16，8，2这五个数又组成一个数列，记为{an}。
　　而如果按照优秀（90～100分）、良好（75～89分）、合格（60～74分）、不合格（60分以下）的等级进行分组又可以得到一个新的数列：4，24，10，2。而对应的优秀率、良好率、及格率、不及格率也组成一个数列：10％，60％，25％，5％。
　　把以上的分组情况列表表示出来：
表一

表二

　　可见，数列{an}与{bn}的各项的和都是总人数40。人数比重又称为频率，频率数列         、        的各项的和都是1。
　　通过对数列各项的分析与归类，利用数列中个项的数量后关系，对这次考试成绩进行定量定性分析，原先杂乱无章的一批数据变得有条理有系统，能够清楚地看到班级成绩的整体情况。而通过这样的实例，学生轻松自然地理解和掌握了数列的有关概念，并把财经专业的统计知识渗透其中，为后续学习打下基础。
　　二、分段函数
　　以考试成绩——分数为自变量x，以取得相应分数的人数为因变量，即函数y，那么表一中的分组情况可以抽象出下面的函数：

　　这种由多个式子表示的一个函数，称为分段函数。这个函数的定义域为区间[40，100]，值域为集合{2，4，8，10，16}。
　　要画出这个函数的图象，首先建立坐标系，X轴即横轴，表示分数，y轴即纵轴，表示人数。取点（40，2）和（60，2）并连线，取点（60，8）和（70，8）并连线，取点（70，16）和（80，16）并连线，取点（80，4）和（90，4）并连线，得到五条平行x于轴的线段，其中有四条不包括右端点。图象如下：
　图1
      图象具有很强的直观性，从图中可以清晰的看出90～100分的有4人，80～89分的有10人，70～79分的有16人，60～69分的有8人，60分以下有2人。
      利用图象分析函数性质时的几点注意：
      1.自变量与因变量的变化范围，即定义域为和值域；
      2.自变量与因变量的对应关系；
      3.随着自变量由小到大的变化，因变量的变化趋势。
      “数形结合”是学习数学的一大重要方法，使用图象来理解各种各样数学表达式的含义，特别是函数的图象非常有利于了解函数的性质。
　　学会看图、画图、用图能够促进学生轻松自如地学会统计图。为此，进行变式拓展 ：上图中，过各线段的端点做x轴的垂线，得到五个直条方形。
　　
   图2
　　统计原理中的直方图就是以这种图象为理论基础的。
　　三、函数的单调性
　　把图2中各条形顶端中点两两连接起来，就形成了折线图。从折线的变化趋势可以看出，在一定范围内，随着分数的增加，取得相应分数的人数也增加，而后当分数继续增加时，取得相应分数的人数反而开始减少。
　　
   图3
　　为了更精确的反映该班该次考试成绩的情况，可以把分组情况细致化。随着各组组距缩小，图2中直条方形数增加，相邻条形的中点就越来越接近，连接各中点的折线就越趋向于圆滑。

图4
　　上图更清晰的反映了随着自变量由小到大的变化，因变量的变化趋势，即函数的单调性：函数在区间[40，75]上单调增加，在区间[75，100]上单调减少。如上所述，使用数学语言描述函数的单调性简洁而且严谨精确，但是非常抽象难懂，函数的单调性是教学的一大难点。现在通过对实例进行分析：在40分到75分这个分数段，随着分数的增加，人数也在增加，而在75分到100分这个分数段，随着分数的增加，人数却在减少，这样的规律和学生平日里的常识是一致的，抽象晦涩的知识也就变得通俗易懂了。
　　四、概率论——变量分布
　　图4中的光滑曲线的覆盖面积（分割为若干个曲边梯形的面积之和）等于40，即该班参加考试的总人数（2+8+16+10+4）。 转换为频率（人数比重）曲线，那么该曲线的覆盖面积即为100%，也就是1. 从概率论——变量分布的角度来理解，该曲线符合连续型随机变量的分布密度的      图象的特点：在x轴的上方，曲线的覆盖面积等于1。连续型随机变量的分布密度为
      具有下列性质：
　　（1）       ≥0；
　　（2）
　　（3）
      变量分布中的正态分布，是我们日常生活常见的一种分布，它最通俗的特点是“两头小、中间大”。表现在学习成绩上，一般地，分数特别高和特别低的人数少，而处于中间分数段的人数最多；表现在同龄人的身高、体重上，超高、超重或超矮、超轻的人数少，而正常身材的人数多。可见，数学知识有时是一种自然规律的体现。
　　基础课程与专业课程整合是职中数学教学发展的必然趋势，本文从对一道统计题的分析，联系了四个方面的数学知识，体现了数学基础知识在专业课程学习中的广泛应用。数学教师应该注重在教学中运用与专业课程内容密切相关的生活实例，注意引导和培养学生运用数学知识解决问题的意识和能力，提高学生学习数学的兴趣，为专业课的学习打基础、做铺垫，以降低相关专业知识的学习难度，减轻专业课教师的负担，切切实实地做到基础课为专业课服务，让学生真真切切地感受到数学来源于生活又应用于生活的实用价值，使基础课程真正整合到专业课程的教学中去。

【参考文献】
　　统计原理[M].高等教育出版社.
　　 同济大学数学教研室.工程数学——概率论[M].
　　数学[M].高等教育出版社.
　　对高等职业教育几个问题的思索[J].中国职业技术教育，2002，(4).