正形性质的运用想一想：你认为正形有哪些性质？研学 ：探究活动1 如图是一块正形草地，要在上面修建两条交叉的小路，这两条小路将草地分成面积相等的四部分，你有多少种法？研学 ：探究活动1∵四边形ABCD为正形 ，∴AC⊥BD，∴ OA=OB=OC=OD，∴△AOB、△BOC 、△COD、 △AOD都是等腰直角三角形，并且它们全等。∴AC与BD将正形分成了面积相等的四部分.研学 ：探究活动1∵四边形ABCD是正形，∴AD=BC，AD∥BC，∠A=90°。又∵点E，F分别为AD，BC的中点，∴AE=BF。∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形。∵∠A=90°，∴平行四边形ABFE是距形。∴∠AEF=90°。同理可证四边形AGHD为矩形∴∠AGH=90°。∴四边形AGOE为矩形。∵AG=AE ，∴四边形AGOE为正形。同理可证四边形GBFO、OFCH、OHDE都是正形。因为它们的边长都是正形ABCD边长的一半，所以它们的面积相等。研学 ：探究活动1连接AC，BD。∵四边形ABCD为正形，∴AC⊥BD。∴∠AOB=90°. ∵EF⊥GH，∴∠EOG=90°.∴∠1=∠2=90°-∠AOG.∵AC、BD分别平分∠BAD,∠ABC，∴∠3=∠4=45°. ∵OA=OB， ∴△AOE≌△BOG. ∴S△AOE=S△BOG。 ∴S四边形AGOE=S△AOB=1/4S正形ABCD。 研学 ：探究活动2如图，ABCD是一个正形花园，E，F是它的两个门，且DE=CF。要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么?研学 ：探究活动2解： AF=BE, AF⊥BE.理由如下：∵四边形ABCD是正形 ∴AD=CD.∵DE=CF，∴AD-DE=CD-CF，∴AE=DF.∵AB=AD,∠BAE=∠ADF=90°。∴△ABE≌△DAF.∴AF=BE.∴∠1=∠2.∵∠1+∠3=∠BAD=90°.∴∠2+∠3=90°.∴∠4=90°，∴AF⊥BE.研学 ：探究活动3如图，正形草地ABCD内，工人们意修建了两条互相垂直的小路PQ与GH，则这两条小路的长度是相等的。你知道为什么吗？说说其中的道理。研学 ：探究活动3提示：过点A作AF∥PQ交CDF，过点B作BE∥GH交ADE，∵四边形ABCD是正形，∴AP∥FQ，BG∥EH，∴四边形APQF、EBGH都是平行四边形。∴AF=PQ，BE=GH.研学 ：探究活动3设AF与BE、GH分别交点K、N，PQ与BE、GH分别交点L、M. ∵ PQ⊥GH， ∴∠PMN=90° ∵BE∥GH, ∴∠PLE |
