|
1. 如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.
(1)请判断：AF与BE的数量关系是________，位置关系是________；
(2)如图②，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA＝ED＝FD＝FC”，第(1)问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；
(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE＝DF，ED＝FC，第(1)问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断．
 2、在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图①位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．
(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；
图①
 (2)如图②，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长；
图②
 (3)如图③，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．
图③
3、(1)问题发现
如图 ①，△ABC为等边三角形，AD为∠BAC的平分线，我们容易发现＝＝1.如果把图①中的△ABC换为Rt△ABC，其中∠A＝90°，∠ABC＝60°，如图②，BD平分∠ABC交AC于点D.
 填空：＝________，＝________．
(2)拓展探究
如图③，△ABC为任意三角形，
∠ABC的平分线BD交AC于点D.
试问：＝成立吗？并证明．
(3)解决问题
如图④，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，AG⊥BA，交BC延长线于点G，AG交BD于点F，AE交BD于点M. 已知BE＝2，EC＝6，CG＝4，求BM∶MF∶FD的值．
4、如图①，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，BP＝1，∠MPN＝90°，将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB(或AD)于点E，PN交边AD(或CD)于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止．
(1)特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP________△PCD(填“≌”或“∽”)，并说明理由；
 (2)类比探究：如图③，在旋转过程中，
的值是否为定值？若是，请求出
该定值；若不是，请说明理由；
(3)拓展延伸：设AE＝t，△EPF的面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S＝4.2时，求所对应的t值．
|
