压轴题专练（一）——二次函数考点一：距离之和最小问题1.如图，抛物线y= x2+bx－2与x轴交A、B两点，与y轴交C点，且A（一1，0）．⑴求抛物线的式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．解：（1）b = 式y= x2- x-2. 顶点D ( , - ).（2）当x = 0时y = -2, ∴C（0，-2），OC = 2。∴B (4,0) ∴OA = 1, OB = 4, AB = 5. △ABC是直角三角形.（3）作出点C关x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴点M，根据轴对称性及两点之间线最短可知，MC + MD的值最小。解法一：设抛物线的对称轴交x轴点E.∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM. ∴ ∴ ，∴m = ．解法二：设 直线C′D的式为y = kx + n ,则 ，解得n = 2, .∴ . ∴当y = 0时， ， . ∴ .2.（2016河池第26题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交A，B两点（A在B的左侧），与y轴交点C，顶点为D．（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． ：（1）当 中y=0时，有 ，解得： =﹣3， =1，∵A在B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0）．当 中x=0时，则y=3，∴C（0，3）．∵ = ，∴顶点D（﹣1，4）． （3）设直线AC的式为y=ax+c，则有： ，解得： ，∴直线AC的式为y=x+3．假设存在，设点F（m，m+3），△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：①当∠PAF=90°时，P（m，﹣m﹣3），∵点P在抛物线 上，∴ ，解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为（2，﹣5）；②当∠AFP=90°时，P（2m+3，0）∵点P在抛物线 上，∴ ，解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，此时点P的坐标为（1，0）；③当∠APF=90°时，P（m，0），∵点P在抛物线 上，∴ ，解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为（1，0）．综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，﹣5）或（1，0）． 3.（201 |
