解题技巧：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题 类型一 利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE点E，且BE＝BC，若∠EAB＝20°，则∠BAC＝__________. 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：DE＝DF；(2)若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪些线(不说明理由)？ 3．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BCD，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB. 二、构造等腰三角形4．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BPP，则△PBC的面积为 ( )A．0.4cm2 B．0.5cm2C．0.6cm2 D．0.7cm2 5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC点D，CE⊥BD.求证：BD＝2CE. 类型二 巧用等腰直角三角形构造全等6．(2016·铜仁)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF. 类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交ACD，求证：BC＝AB＋CD. 8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥ACE，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边D.(1)求证：PD＝DQ；(2)若△ABC的边长为1，求DE的长． 参考答案与1．40°(1)证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF. (2)解：若∠BAC＝90°，图中与DE相等的有线DF，AE，AF，BE，CF.证明：如图，作EF⊥ACF.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB. 4．B证明：如图，延长BA和CE交点M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE.又∵BE＝BE，∴△BME≌△BCE(ASA)，∴EM＝EC＝MC.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵ |
