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周正强
方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解分式方程的基本思想是将分式方程化为整式方程，最常用的方法是去分母法,即在方程两边同时乘以最简公分母的方法，这样未知数的取值范围就有可能扩大，所以解出来的未知数的值就必须检验,防止出现增根现象，下面举例探讨分式方程"解"的有关情形。
一、分式方程有解
例1、解方程：2∕(x+3)=1/(x-1)
解：方程两边同乘以最简公分母(x+3)(x-1)，约去分母，得2(x-1)=x+3，解这个整式方程，得x=5 。检验：把x=5代入(x+3)(x-1)中，得(5+3)(5-1)=32≠0，所以x=5是原分式方程的解。
例2、已知关于x的方程1/x-m/(x-1)=m有实数根，求m的取值范围。
解：方程两边同乘以最简公分母x(x-1)约去分母，得mx2-x+1=0，
①当m=0时，得x=1，此时原分式方程化为1/x=0，显然，原分式方程无解，所以m=0不符合题意舍去，
②当m≠0时，整式方程mx2-x+1=0的判别式∆=(-1)2-4m=1-4m，
因为原分式方程有实根，所以1-4m≥0 。解的m≤1/4，所以，当m≤1/4且m≠0，时，原方程有实数根 。
二、分式方程无解且没有产生增根
有些分式方程无解并且没有产生增根，举例如下：
例3、解方程
(1) 1/(x-1)=1/(2x-2) (2) (x-1)/(x+2)=(3-x)/(2+x)+2 (3) (x2+2)/(x2-4)=2/(x+2)-1
解：(1) 1/(x-1)=1/(2x-2) 去分母得，2=1,显然，2≠1，所以，原分式方程无解，
(2) (x-1)/(x+2)=(3-x)/(2+x)+2 去分母得，x-1=3-x+2x-4 移项合并同类项得，0x=8，即0=8，所以原分式方程无解，
(3) (x2+2)/(x2-4)=2/(x+2)_1 去分母得，x2+2=2x-4-x2+4 移项合并同类项得，x2-x+1+0 因为∆=1-4<0，所以原分式方程无解
三、分式方程产生增根但分式方程无解
分式方程在去分母后所变形而成的整式方程是一元一次方程，该一元一次方程的解恰能使最简公分母为零，这个根是增根，由于一元一次方程的根往往只有一个，所以原分式方程无解，如下例
例4、解方程 1/(x-2)+3=(1-x)/(2-x)
解：1/(x-2)+3=(1-x)/(2-x) 去分母得，1+3x-6=x-1 解得，x=2 经检验x=2是增根，所以原方程无解
四、分式方程产生增根且分式方程有解
分式方程去分母后变形而成的整式方程是一元二次方程时，由于一元二次方程有两个根，其中有一根使最简公分母为零，则这个根就是增根另一根不能使最简公分母为零，则这个根就是原分式方程的解，举例如下：
例5、解方程x/(x-1)-2/(x+1)=4/(x2-1)
解：x/(x-1)-2/(x+1)=4/(x2-1)
去分母得，x2+x-2x+2=4 移项合并同类项得 x2-x-2=0 解得 x1=2 x2=-1经检验x=2是原分式方程的根，x=-1是增根，所以原分式方程的根为x=2 |
