类比归纳：与三角形的高、角平分线有关的计算模型 模型1：求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数1．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；(2)设∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE，并证明． 模型2：求两内角平分线的夹角的度数如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交点O.若∠BOC＝120°，则∠A＝_____. 3．如图，△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．(1)若∠A＝80°，求∠BPC的度数．(2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC＝90°＋∠A的规律，你认为正确吗？请给出理由． 模型3：求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数4．如图，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交点A1.(1)求证：∠A1＝∠A；(2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD的平分线交点A3，得∠A3……依此得到∠A2017，若∠A＝α，则∠A2017＝_____________. 模型4：求两外角平分线的夹角的度数【法5】5．(1)如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，则∠BOC与∠A的关系为____________；(2)请就(1)中的结论进行证明． 参考答案与1．解：(1)∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－60°＝80°.∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝×80°＝40°.∵AD是高，∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－40°＝50°，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝50°－40°＝10°.(2)∠DAE＝(β－α)，证明如下：∵∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，∴∠BAC＝180°－(α＋β)．∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝90°－(α＋β)．∵AD是高，∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－α，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝90°－α－＝(β－α)．2．60°3．解：(1)∵BP，CP为角平分线，∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝×(180°－80°)＝50°，∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－50°＝130°.(2)正确，理由如下：∵BP，CP为角平分线，∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝90°－∠A，∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－ |
