拔高 圆中的最值问题 一、基本模型构建见模型 图(1) 图（2） 思考图（1）两点之间线 最短 ；图（2）垂线 最短 。.在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关直线L的 对称 点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．二、拔高精讲探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题例1：如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，求AP+BP的最小值。 解：作点A关MN的对称点A′，连接A′B，交MN点P，连接OA′，AA′．∵点A与A′关MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3，∴A′B=3 ．∵两点之间线最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=3 ． 【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称和两点之间线最短的知识，把两条线的和转化为一条线，即可计算。探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题例2：如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3 ，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值 解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 ，∴AB= OA=6，∴OP= =3，∴PQ= =2 ． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交点A，与y轴相交点B．求线AB的最小值． 解：（1）线AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP，∵AB切⊙OP，∴OP⊥AB，取AB的中点C，∴AB=2OC；当OC=OP时，OC最短，即AB最短，此时AB=4． 【教师总结】结合切线的性质以及辅助线的作法，利用“垂线最短”是解决此类问题的关键。 |
