第2讲 与三角形有关的角（11.2）一、知识1．三角形内角和定理(1)定理：三角形三个内角的和等180°.(2)证明法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°.如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC. (3)理解与延伸：因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等．(4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数．谈 三角形内角和定理的理解 三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最的定理，应用非广泛．【例1】 填 空：(1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°；(2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°.：(1)三角形内角和为180°，已知两角求第三角；(2)可设∠C＝x°，那么x＋x＋80＝1 80，求出x＝50.所以∠C＝50°；(3)设每一份为x，得2x＋3x＋5x＝180，求得x＝18，所以∠B＝54°，∠C＝90°.答案：(1)80 (2)50 (3)54 902．直角三角形的性质与判定(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°. 【例2－1】 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是 ( )． A．43° B．47° C．30° D．60°：如图所示，由平行线的性质可知，∠CEF＝∠α＝43°，所以∠BDC＝∠CEF＝43°，∠β＝∠DBC，在Rt△DBC中，∠DBC＋∠BDC＝90°，所以∠β＋43°＝90°，所以∠β＝90°－43°＝47°. 答案：B(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形．提示：由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角之和为180°，如果有两个角的和为90°，那么第三个角自然是直角．由直角三角形定义可知，该三角形为直角三角形． 【例2－2 |
