空间几何体的表面积和体积

　　一、课程背景

　　本课内容是必修二立体几何的第一部分，通过前面讲解的三视图，学生对几何体有了一个基本了解，但大多数同学空间感较弱，通过研究正方体的结构，以及正四面体结构这两个问题，使学生对几何体中点、线、面位置关系有一个更清晰的认识，同时为后续学习点、线、面位置关系也打下一定的基础，求几何体的表面积是高考考察的重要内容。通过对圆柱，圆锥，圆台的探究推导，使学生能够对旋转体有一个更为清晰的认识，提高空间想象能力都有着巨大的帮助，从而最终为解决立体几何问题提供保障，在第一次利用GeoGera软件授课后，在总结授课过程及授课结果的许多问题的基础上，我对整个授课过程及中心进行了重新调整，由原来的教师展示总结为中心转换为学生探究，教师辅导，学生展示成果的过程。下面我就修改内容总结如下。

　　2、修改方案

　　基于空间几何体本身的结构特征，画空间几何体的直观图和展开图需要占用大量的课堂时间。所以，在第一次上课时，我采用已经制作成功的课件来直接展示正方体、正四面体、圆柱、圆锥、圆台等几何体的直观图和侧面展开图。但是，通过学生的作业反馈和沟通，发现，学生对这些空间几何体的展开图的理解并没有达到我们的学习目标。经过反思，为了更加充分的调动学生的积极性和参与度，我将教学方案进行修改。首先，我把学生分成活动小组，要求每个学生小组用彩色纸板制作正方体、正四面体、圆柱、圆锥、圆台这些几何体，并根据自制几何体的实际大小，计算它们相应的表面积。

　　小组模型图片+教师讲授软件使用方法!

　　基于GeoGera软件本身的优越性，我在课堂上教学生使用GeoGera软件，让学生通过学习和使用GeoGera软件来帮助它们更好的理解空间几何体的教学过程。具体教学过程对比如下：

　　问题一：探究正方体的结构及求解正方体的表面积

1、授课过程：利用GeoGera软件展示正方体表面展开图的形成过程，通过图形的展示过程激发学生学习热情。要求探究任务进行分组，由学生自主的探究如何利用GeoGera软件分析研究正方体的结构，以及如何求出正方体的表面积。

　　2、设计意图：由于正方体是学生经常接触的几何体，所以让学生从正方体结构入手较为方便学生理解点、线、面间的位置关系。当然由于实物的展开图更有助于学生进行对照，所以，在课堂上让学生再次让学生通过模型比照直观图。更好的帮助学生理解画直观图与实物的区别，搞清楚的点、线、面有哪些区别和联系。比如：线段的平行性没有发生改变，而用斜二测画法所画的直观图其角度和实物完全不同。

　　3、对比效果：在第一次上课后，教师通过几个问题进行探究展示，学生大多没有经过思考，直接看到展示结果，对几何体的认识也比较模糊。尤其是点、线、面关系的认识不清楚，在后面的作业中，画出的正方体不完全正确。经过修改，让学生自制模型并通过利用GeoGera软件对正方体的结构进行探究思考，学生在探究过程中对正方体结构特征进行了深入的思考探究，对线与线的平行性进行了探讨。经过改进教学方案，学生无论是画正方体的直观图，还是做相关的空间几何体的习题，准确度都得到较大幅度的提高。

　　问题二：探究正四面体的结构特征

　　例、已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积.

　　1、授课过程：在这个例题的探究中，我改变原来直接播课件展示正四面体的直观图为。首先，让学生观察实物模型，认识正四面体的的表面积是由三个全等的三角形组成的，然后让学生用剪刀剪开正四面体的侧棱，观察其展开图的形状。然后，利用GeoGera软件，在课堂上展示四面体展开图的结构形状，让学生自主的探究正四面体的结构，探究正四面体的和各直观图和展开图之间的关系，探究边长与斜高的关系，并引领学生进一步探究棱长和正四面体的高之间的关系，并要求学生板演解题过程，最后利用PPT答案进行结果验证。

　　2、设计意图：正四面体是一类特殊三棱锥，也是高考中的热点，难点。例如：外接球、内切球问题会经常和正四面体相结合。通过对正四面体的深入研究，使得学生对图形结构的理解更加深刻，为今后处理这一类问题打好了坚实的基础。

　　3、效果对比：学生对正四面体的结构相对陌生，在第一次授课后学生对正四面体的结构的认识不太清晰，各个面的边长和高的关系，他们的结构特征相对模糊，在后续的作业中出现了对几何体的高和面的高混为一谈，在调整过后，学生在探究过程中清晰的认识了正四面体的结构特征，基本都能够分清楚面的高和几何体的高，有的学生发现顶点的投影落在了底面中心这些正三棱锥的重要特征，为后续对几何体的研究也有一定的帮助。从而实现空间几何体问题从特殊到一般的知识体系形成过程。

　　问题三：探究圆柱，圆锥，圆台的表面积公式

　　1、授课过程：首先提出问题：如何求圆柱、圆锥、圆台的表面积。在第一次讲课时我采用的是教师利用课件直接展示圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，让学生通过观察展开图形，完成三个旋转体的公式推导过程。而由于，我直接给出了三者的展开图，学生没有经过观察思考就看到了图形，缺乏生成过程，即使花大量时间用在公式的计算问题上，学生对三个展开图依然无法在大脑中形成图形，理解不够深入，在作业和后面的很多变式中经常弄不清楚展开图和直观图的区别和联系。成为了学生的易错点和难点。为了突破这个问题，我改进了教学方案。

　　经过修改，我把这个过程改为由学生课下利用GeoGera软件探究圆柱的侧面展开图，然后在课堂上展示。进一步得到圆锥，圆台的表面积公式。学生通过分析圆柱的结构特征，发现圆柱的表面积包括一个矩形和两个圆面;圆锥的表面积是一个扇形和一个圆面;圆台的侧面展开图是一个扇环，加上两个圆面组成圆台的表面积。并且，通过分析寻找到圆面的周长和侧面展开图中矩形的长，扇形、扇环的圆弧长之间的关系，经过分析探究，最终推导得到圆柱、圆锥，圆台的表面积公式。

　　2、设计意图：旋转体的表面积计算是求解几何体表面积的重要部分，对图形的充分认识是公式的理解和记忆，并能否正确求解的关键。通过改进方案，从实物——空间几何体的直观图——空间几何体的平面展开图，很好的加强了学生的空间想象能力，而公式的推导也提高了学生的运算能力。

　　3、对比效果：在第一次讲课时，由于整个过程都是由教师完成，学生对公式的形成过程认识并不是太清晰，在课下的作业完成中多采用的是死记硬背的方式对公式进行使用。尤其是对量的关系没有一个清晰地的认识，经常带错数字，比如把底面圆的半径带成弧长，进而导致计算错误。通过修改方案之后，由于绝大部分学生参与了利用GeoGera制作圆锥，圆柱，圆台展开图的过程，理解了图形的形成过程，他们对圆台侧面形成可以转化为两个扇形面相减，这样的直观效果让他们对几何体的认识有了显著地提高。通过对公式的深刻理解，同学们对公式的记忆和应用都非常熟练，在后续的利用公式求值问题基本没有在出现此类错误的情况。

　　三、整体反思

　　我认为本节课的亮点在于增加了学生课下利用新媒体进行研究问题的过程，极大地激发了学生的兴趣，进一步保证了学生对公式和解题方法的掌握程度，为以后的学习打下坚实的基础。

　　立体几何历来是教师授课的难点。本节课脱离了传统的教师讲解为主的授课方式，由于单靠语言讲解并不能够帮助学生较好的形成形象的几何体印象，而传统画图又浪费大量的课堂时间，不利于教学任务的完成。在第一次授课时，我过于强调“课堂高效”，单一的采用老师讲解PPT展示的方式，忽视了知识的形成过程。学生被动学习，没有真正弄懂几何体间的位置关系，结果课堂效果反而不好。通过修改方案，我先分成几个学习小组，让他们课下自己动手制作模型并计算所制作模型的表面积，让他们通过实物模型直观的感知表面积和展开图间的关系。

　　然后，通过教师讲解GeoGera软件使用方法，让学生分小组自己利用GeoGera软件在课下研究这些空间几何体及其表面积的做法。最后，在课堂上，通过问题和板演，提高学生小组研究的参与度。使得原本枯燥乏味的几何体讲解变得形象直观，每个学生都想尝试自己思考的内容能否在新媒体展示，间接地促进了学生更快的掌握知识，让绝大部分学生对于几何体的结构有了一个更为深刻的认识。

　　教学评价：

　　众所周知,立体几何是高中数学的主干知识之一，重点研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系。空间几何不仅是立体几何中的难点和重点，空间几何教学一直是培养学生空间想象能力的核心章节,也是不可或缺的数学学科核心素养的落脚点。

　　在前期的教学过程中，由于过于强调GeoGera软件在课堂上的应用，刘玉宾老师讲课开始后直接通过GeoGera软件展示正方体和正四面体，希望可以通过这种高效的方式更快的引领学生直观地认识和理解空间点、线面的位置关系，然后又通过GeoGera软件直接展示旋转体圆柱、圆锥、圆台的展开图，让学生直接得到相应的结论。从教学方式来说，空间几何教学得层次是有一定问题的。通过调查学生的实际掌握情况，发现学生对空间点线面概念的理解并不好。通过大家的分析探讨，我们认为首先还是需要让学生先观察实物，毕竟GeoGera软件的使用，是将实物抽象画出的，尤其在学生并不是很熟悉圆锥、圆台等几何体，直接应用软件播放，看似高效，实则让学生失去了观察几何体、深入理解几何体的过程，即使记住了几个公式，但一旦遇到变形题目，学生就会大脑空白。所以，改进方案后，我们建议让教师准备一些实物模型，并在课下要求学生分小组自制模型并进行展开计算自制模型的表面积，通过自制模型，不仅调动了学生学习的积极性，而且让学生在求解过程中发现它们之间的联系。当然，在学生对几何体有了一定理解的基础上，再分小组让学生运用GeoGera软件进行操作变形，学生这个时候的理解就更为深刻。不仅可以在大脑中抽象出模型的直观图，而且对点线面的关系有了更清晰的理解。并且在教师设计的问题上展开自己的思考空间，提出新的问题和新的解决方案。真正的让头脑动起来，克服了被动接受知识的局面。真正逐步深入思考,学会空间感知,更学会用不同的方式解决空间几何问题的全面性。