《分式的基本性质》典型例题例1下列分式的变形是否正确，为什么？（1）（2）例2写出下列等式中的未知分子或未知分母。（1）（2）例3不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数.（1）（2）例4不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数.（1）（2）例5已知不论取什么数时，分式（）都是一个定值，求、应满足的关系式，并求出这个定值.例6已知一个圆台的下底面是上底面的4倍，将圆台放在桌面上，桌面承受压强为P牛顿/，若将圆台倒放，则桌面受到的压强为多少？例7不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“－”号：例8不改变分式的值，使分式的分子、分母中的多项式的系数都是整数．例9判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说明理由：（1）；（2）；（3）；（4）．例10化简下列各式：（1）；（2）；（3） 参考答案例1分析分式恒等变形的根据是分式的基本性质，应该严格地用基本性质去衡量，是基本性质的生果组成部分，应特别注意.解（1）∵已知分式中已隐含了，∴用分别乘以分式的分子、分母，分式的值不变，故（1）是正确的.（2）因为已知分式中，没限制，可以取任意数，当然也包括了，当分式的分子、分母都乘以时，分式没意义，故（2）是错误的.例2分析（1）式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手，显然，是由乘以得到的，由分式的基本性质，也要乘以，所以括号内应填（2）式中等号两边分子都已知，所以先观察分子，除以得到右边分子，按照分式的基本性质，，故括号内应填解：（1）（2）例3分析要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？（1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数.（2）中分子、分母中各项系数()是分数，这个数应该是各项系数的分母的最小公倍数，即5，2，4，3的最小公倍数60.解：（1）法1：原式法2：原式（2）原式说明在将分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时，要遍乘分子分母的每一项，防止漏乘.例4分析（1）式中分子要变号，分母也要变号，所以应该同时改变分子、分母的符号.（2）式中分母需要变号，分子不需要变号，所以需要同时改变分母和分式本身的符号.解：（1）（2）例5分析在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值，而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法.解：当时，时，∵不论取什么实数，是一个定值∴，∴∵∴把代入原式，得∴、的关系为；定值为例6解：设圆台的压力为G牛顿，下底面积为，上底面积为.则,∴∴当圆台倒放时，桌面受到的压强为：(牛顿/)答：桌面受到的压强为牛/.说明运用分式知识，有助于解决物理中问题（1）；（2）；（3）；（4）．例7分析根据“分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改变其中任意两个，分式的值不变”．解：（1）同时改变分子和分式的符号，得；（2）同时改变分母和分式的符号，得；（3）先确定是分母的符号，再变号，得；（4）先确定是分子的符号，然后变号，得．说明1．分式中的分数线实际上起到了括号的作用．如果分式的分子或分母是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如（3），（4）题，千万不可误解成或；2．对于（4）题，也可处理成的形式．例8分析此分式分子中各系数的最小公倍数是6，分母中各系数的最小公倍数是10，而10和6的小公倍数是30．于是可利用分式的基本性质：分子、分母同时乘以30．解：．说明1．利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理，提供了便利条件．2．操作过程中，用数30的确定是问题的关键所在．因此不仅要考虑到分子、分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位．例9分析约分变形的前提是分子、分母有公因式．解：（1）、（2）、（3）题的变形都不是约分，结果都是错误的．（1）分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，“除以一个整式”是对分子、分母的整体进行的．而只对分子和分母中的某一项进行，就违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的．（2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解．因此分子、分母没有公因式，它是最简分式．故此题的变形是毫无根据的．（3）当分子、分母都是乘积的形式，才有约分的可能，而这里与是和的形式，因此不能进行约分．正确的结果解法是：（4）此题是约分变形．因此分母化成的形式，与分子约去公因式 |
