1．（10分）（2014?德阳）如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数 （x＞0）的图象经过矩形的对称中心E，且与边BC交点D．（1）求反比例函数的式和点D的坐标；（2）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线的式．2．（9分）（2014?内江）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 （x＞0）的图象交点P（n，2），与x轴交点A（﹣4，0），与y轴交点C，PB⊥x轴点B，且AC=BC．（1）求一次函数、反比例函数的式；（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心，∴点E的坐标为（2，1），代入反比例函数式得， =1，解得k=2，∴反比例函数式为y= ，∵点D在边BC上，∴点D的纵坐标为2，∴y=2时， =2，解得x=1，∴点D的坐标为（1，2）；（2）如图，设直线与x轴的交点为F，矩形OABC的面积=4×2=8，∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，∴梯形OFDC的面积为 ×8=3，或 ×8=5，∵点D的坐标为（1，2），∴若 （1+OF）×2=3，解得OF=2，此时点F的坐 标为（2，0），若 （1+OF）×2=5，解得OF=4，此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，当D（1，2），F（2，0）时， ，解得 ，此时，直线式为y=﹣2x+4，当D（1，2），F（4，0）时， ，解得 ，此时，直线式为y=﹣ x+ ，综上述，直线的式为y=﹣2x+4或y=﹣ x+ ．解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），∴O为AB的中点，即OA=OB=4，∴P（4，2），B（4，0），将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得： ，解得：k= ，b=1，∴一次函数式为y= x+1，将P（4，2）代入反比例式得：m=8，即反比例式为 （2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，对一次函数y= x+1，令x=0，得到y=1，即C（0，1），∴直线BC为 与BC平行的直线PD式为 由 与 ，消去y解得：x=4（舍去）或x=8，当x=8时，y=1，∴D（8，1），此时 PD= = ，BC= = ，即PD=BC，∵PD∥BC，∴四边形BCPD为平行四边形，∵PC= = ，即PC=BC，∴四边形BCPD为菱形，满足题意， 则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐 |
