11.2 与三角形有关的角 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷。 同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争创设情景 明确目标三角形的三个内角和是多少?把三个角拼在一起试试看？你有什么办法可以验证呢? 从才拼角的过程你能想出证明的办法吗?探究点一 三角形的内角和三角形的内角和等180°.已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°证明１：过A作EF∥BA， ∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠1(两直线平行,内错角相等) 又∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°F21ECBA三角形的内角和等180°.为什么要证明 按照上面的法,已经可以验证三角形的内角和是180°,但是由形状不同的三角形有无数多个,我们不可能通过上面的办法一一验证.再加上其验证过程中可能存在误差,不能保证其有效性.所以我们需要一种能证明意一个三角形的内角和等180°的法.这个法就是——证明. 一个命题是否正确,需要经过使人信服的推理论证才能得出结论.而证明是由命题的题设(已知)出发,经过严密的推理,最后推出结论(求证)正确的过程. 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几里，辅助线通画成虚线。证明２：延长BC到D，过C作CE∥BA，∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等)∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°三角形的内角和等180°.证明3：过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°三角形的内角和等1800.思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的用法. 例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°, ∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．探究点二 三角形内角和定理的应用 例2 如图，C 岛在A 岛的北偏东50°向，B 岛在A 岛的北偏东80°向，C 岛在B 岛的北偏西40°向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ （1）在△ABC中，∠A=55 |
