《直角三角形的性质》例题精讲与【难点】 ：直角三角形的性质定理及其推论： ①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等斜边的一半 ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等30°，则它所对的直角边等斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一条直角边等斜边的一半，那么这条直角边所对的角为 30° 难点： 1.性质定理的证明法 2.性质定理及其推论在解题中的应用【讲一讲】 例1：已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥ACE， ∠A=30°，求BC，CD和DE的长 分析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD 在Rt△ADE中，有∠A=30°，则DE可求 解：在Rt△ABC中 ∵∠ACB=90 ∠A=30°∴ ∵AB=8 ∴BC=4 ∵D为AB中点，CD为中线 ∴ ∵DE⊥AC，∴∠AED=90° 在Rt△ADE中， ， ∴ 例2：已知：△ABC中，AB=AC=BC （△ABC为等边三角形）D为BC边上的中点， DE⊥ACE 求证： 分析：CE在Rt△DEC中，可知是CD的一半，又D为中点，故CD为BC上的一半，因此可证 证明：∵DE⊥ACE，∴∠DEC=90°(垂直定义) ∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC ∠C=60° ∵在Rt△EDC中，∠C=60°，∴∠EDC=90°-60°=30° ∴ ∵D为BC中点， ∴ ∴ ∴ 例3：已知：如图AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD，AC=BC 求证：AB=BO 分析：证AB=BD只需证明∠BAO=∠BOA 由已知中等腰直角三角形的性质，可知 。由此，建立起AE与AC之间的关系，故可求题目中的角度，利用角度相等得证 证明：作DF⊥BCF，AE⊥BCE ∵△BDC中，∠BDC=90°，BD=CD ∴ ∵BC=AC ∴ ∵DF=AE ∴ ∴∠ACB=30° ∵∠CAB=∠ABC，∴∠CAB=∠ABC=75° ∴∠OBA=30° ∴∠AOB=75° ∴∠BAO=∠BOA ∴AB=BO【达纲练习】 1.△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB 求证：AE=2CE 2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA 求证：DE=DC 3.如图：AB=AC，AD⊥BCD，AF=FD，AE∥BC且交BF的延 |
