11.3角的平分线的性质1、会用尺规作角的平分线.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、角的平分线的性质:PD⊥OA，PE⊥OB∵ OC是∠AOB的平分线∴ PD＝PE用数学语言表述： 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．思考证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．在角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴ QD＝QE如图, △ABC的角平分线BM,CN相交点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PD⊥ABD，PE⊥BCE，PF⊥ACF如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥AEG，FH⊥ADH，FM⊥BCMGHM∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC∴FG＝FM又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。利用结论，解决问题练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在处修建?想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如证明的?拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C |
