八年级 上册13.4 课题学习 最短路径问题如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？两点之间线最短如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点P可使输气管线最短 问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 探索新知 追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． 探索新知（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和； 探索新知 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ 追问1 对问题2，如将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ 探索新知 问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 追问2 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？ 探索新知 问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？ 作法：（1）作点B 关直线l 的对称 点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交 点C． 则点C 即为所求． 探索新知 问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 探索新知 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′．探索新知 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC |
