初中教师网 宇学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。学习：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线最短”问题。教学过程：一．回顾如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，从节省时间的角度来看，你会选走哪条路？你的理由是什么？ 二．引入新课前面我们研究过一些关“两点的所有连线中，线最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线中，垂线最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．问题1 如下图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地饮马，可使所走的路径最短？ 三、探究新知1．将实际问题抽象为数学问题师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识．（1）把A、B两地抽象为两个点；（2）把河边l近似地看成一条直线（下图），C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小． 2．尝试解决数学问题（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：（1）连接AB，与直线l相交一点，根据“两点之间，线最短”，可知这个交点即为所求．（2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？（3）如能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使新问题得到解决．（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？学生独立思考后，尝试画图，完成问题．小组交流，师生共同补充得出：作出点B关l 的对称点 B′，利用轴对称的性质，可以得到 CB′＝CB（下右图）．连接AB′，则AB′与l 的交点即为所求． 3．证明“最短”师生共同分析，合作证明“AC＋BC”最短．证明：如上右图，在直线l上的一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′，由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′．∴ AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴ AC＋BC＜AC′＋BC′．即AC＋BC最短．提问：证明AC＋BC最短时 |
