第十三章 轴对称 一、思维导图 二、典型例题例1 把一正形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是( ) 【知识点】轴对称图形的知识【思路点拨】本题主要考查了学生的立体思维即操作，实际动手操作（折纸或者将图③按轴对称补全），可得到正确结论.故选C.【解题过程】按图实际动手操作，可得到正确结论.【答案】C例2 如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的长为8cm，且AC－BC=2cm，求AB，BC的长. 【知识点】线垂直平分线的性质【数学思想】程思想【思路点拨】由题意知，DE是线AB的垂直平分线，由其性质知BE=AE，从而得AC+BC=8，又AC-BC=2，即得到关AC、BC的程组，则易解出.【解题过程】∵DE⊥AB，D为AB中点，∴DE垂直平分AB，∴BE=AE，∵BC+BE+EC=8，∴BC+AE+EC=8，即BC+AC=8，又∵AC－BC=2，∴ 解得 ∵AB=AC， ∴AB=5(cm)，BC=3(cm).【答案】AB=5(cm)，BC=3(cm).例3 已知，点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC.⑴如图1，若点O在BC上，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，求证：AB=AC；⑵如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；⑶若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示. 【知识点】等腰(等边)三角形的性质与判定【思路点拨】证明两条线相等或者两个角相等，都可联想到证明两个三角形全等或等腰三角形.⑴因为AB、AC在同一个三角形中，所以考虑证明等腰三角形，从而去找角等，即∠B=∠C，通过HL得到三角形全等解决；⑵可类比⑴问求证；⑶由题意知OE=OF，OB=OC，所以作图时应使∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合；还要分别考虑点O在△ABC的内部和外部.【解题过程】⑴如图1，∵OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足， ∴∠OEB=∠OFC=90°，又由题意知OE=OF，OB=OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠B=∠C， ∴AB=AC⑵如图3，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知OE=OF， OB=OC ，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL） ， ∴∠OBE=∠OCF， 又由OB=OC知∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC⑶不一定成立. (注: 由题意OE=OF，OB=OC，只有当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时：如图①②，有AB |
