对学习一次函数的几点建议

　　函数是初中数学教学和中考的重要内容，也是代数部分中学生感到比较难学的一个知识点。一次函数是初中所涉及到的函数中较为简单的一种，学好它可以帮助同学们克服对函数的畏惧心理，树立自信心，为以后学习其他各类函数打下坚实的基础。那么，如何学习一次函数呢？初中主要学习一次函数的定义、图象与性质以及建立一次函数模型等方面的知识。我们应该具有整体的观念，纵观大局，全方位去把握它。因此我在这里谈几点个人看法，供同学们参考。

　　一、讲清一次函数的内涵，正确理解一次函数的定义。

　　在教材中对一次函数是这样定义的：整理化简后，如果函数的解析式是自变量的一次式，那么这样的函数称为一次函数。其一般形式为y＝kx＋b（k≠0，k、b为常数）。对该定义简单一点理解，就是化简整理之后形如y＝kx＋b（k≠0）的函数叫做一次函数。具体理解起来，则应从以下几个方面着手：

　　1.判断函数是否为一次函数，应先对函数解析式整理化简，不能只看表面现象，而不看实质情况；

　　2.函数解析式中自变量x的系数k不能为0，即k可以大于0或小于0；

　　3.自变量x的次数必为1；

　　4.含自变量x的式子必须是整式。

　　对于一次函数来说，后三条是缺一不可的。判断一个函数是否为一次函数，就看这三条是否同时具备。

　　常见的题型有以下几种情形：

　　①指出下列函数中是一次函数的是（        ）

　　A.y＝－   B. y＝－ ＋2   C. y＝ ＋1   D. y＝3x2＋1

　　②若x，y为变量，且y＝（k＋1）x∣k∣是正比例函数，求k值。

　　只要牢牢地把握一次函数（包括正比例函数）应满足的条件，上述问题也就不难解决了。

　　二、在解决一次函数的相关问题时，别忽视自变量的取值范围。

　　在研究函数时，首先要考虑其自变量的取值范围，超出自变量的取值范围研究函数是没有意义的，很多同学容易忽视这一点。一次函数的自变量取值范围一般为全体实数，但若是在实际问题中建立的一次函数模型，就必须根据具体情况来确定自变量的取值范围了，并且作其图象时也只能在自变量的取值范围内来完成。如下述问题：

　　一支蜡烛长16厘米，点燃后每小时燃烧4厘米。求点燃后蜡烛的长度y（厘米）与点燃时间t（小时）之间的函数关系式，并作出其图象。

　　在该问题中，y与t的函数关系式为：y＝16－4t，其中0≤t≤4，且其函数的图象是一条线段，而不是一条直线。在这里，许多同学就是因为忽略了自变量t的实际意义而出现错误。

　　三、深刻认识函数图象的实质，弄清图象上的点得坐标与函数中两个变量的关系。

　　函数的图象是由函数关系式中自变量和对应的函数值为坐标的所有点组成的图形。其中自变量的取值为点的横坐标，对应的函数值为点的纵坐标。一次函数的图象是直线型的，点在直线上，则其坐标必定满足一次函数解析式；反过来，点的坐标满足一次函数解析式，则该点必定在其直线上。由此可见，在图象上的点的横、纵坐标的变化规律也就反映了函数关系式中自变量与函数的变化规律。图象有形象直观的效果，因此，把握好图象所提供的信息，理清点的坐标与函数中的变量的对应关系，就更容易掌握一次函数的性质特征了。

　　四、研究一次函数的性质时，常常是多种方法并举，其中解析式法和图象法功不可没。

　　解析式法（即公式法）和图象法都是表示函数关系的方法，两者之间紧密相连。从一次函数解析式y＝kx＋b（k≠0，k、b为常数）中k和b的值，就可以知道直线y＝kx＋b的走势，所经过的象限，与坐标轴的交点位置，以及函数y随自变量x的变化规律等。反过来，知道了一次函数的图象，也就知道了一次函数y＝kx＋b中k与b的取值情形，自变量x的取值范围，以及函数y随自变量x的变化规律等。图象法形象直观，解析法系统全面，两者的优点正好弥补了对方的不足，所以在研究一次函数的性质特征时，常常是解析法和图象法双管齐下。这样做，对所研究的一次函数就有了一个形象直观、全面具体的了解。学习函数解析式与其图象之间的联系以及它们所反映出来的性质特征时，可以用表格的形式，分情况归纳总结，这有利于对一次函数的整体把握。

　　五、学会用待定系数法确定一次函数解析式，建立一次函数模型。

　　实际上，无论是八年级所学的一次函数（包括正比例函数），还是九年级要学习的反比例函数和二次函数，用待定系数法确定其解析式的步骤与方法都基本一样：第一，设出函数的一般形式；第二，把已知条件代入所设的解析式中，建立关于待定系数的方程或方程组；第三，解方程或方程组，求出待定系数的值；第四，把求出的待定系数的值代入所设的函数解析式中，写出函数解析式。不同的是，对于不同的函数，所给出的条件不一样，条件出现的形式也缤彩纷呈，各不相同。对于一次函数解析式的确定，常会出现以下几种形式的条件：

　　1.已知自变量与函数的两组对应值；

　　2.已知图象上某两个点的坐标；

　　3.已知所求直线与已知直线的特殊位置关系（平行或垂直），以及另一个条件（可以是一个点的坐标，或者是所求直线与坐标轴围成的三角形的面积等）；

　　4.已知所求直线与已知直线的交点坐标，以及它们与坐标轴所围成的三角形的面积。

　　以上只是列举了用待定系数法确定一次函数解析式时，常见的几种不同形式的条件，还有其它情况，这里不能完全列举出来。但无论条件出现的形式怎样变，它都会坚持一点，那就是有几个待定系数，一般都会有几个完整的条件（特殊情况除外）。

　　六、一次函数在初中数学学习中用途广泛，作用很大，用函数的思想解决一些数学问题是我们常用的方法之一。因此，熟练地掌握一次函数的性质与图像，对我们在其他领域内的学习有很大的帮助。

　　八年级数学教材中介绍了利用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解和一元一次不等式的解集的方法，即图象法，从中同学们也了解到一次函数和二元一次方程之间的密切关系，也体会到一次函数的图象的巨大作用。其实，不仅仅在这方面，利用一次函数还可以证明两线垂直，判断三点是否共线寻问题。下面就以利用一次函数判断三点是否共线为例来说明这一点：

　　已知平面上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）试判断A、B、C三点是否共线。

　　方法是这样：先利用待定系数确定直线AB的函数解析式（必为一次函数），再把C点坐标代入上述一次函数解析式，看它是否满足该函数解析式，若满足，则A、B、C三点共线；若不满足，则A、B、C三点不共线。

　　这样的例子还很多。只要我们有了整体观念，全方位去把握一次函数，多领悟、多练习、多变通，学好一次函数则不是一件很难的事情。