初中数学《折纸中的数学问题》案例分析

一、背景

我教了近十年的数学，经历了许多次教研活动，通过这些活动，同伴们各抒已见，共同提高。可以这么说，我的成长离不开这一次次的教研活动。但是，说老实话，本人对上公开课还是挺紧张的，上公开课好比是一次大的考试，我老是担心自已的课上得不成功。但事后往往会发现通过活动，我的收获还是很大的。从选题、课前的准备、课堂的设计、课后的反思等各环节都有了进一步的思考。

二、情境再现

    2013年4月，我们数学教研组安排两位九年级老师的公开课展示，我是其中之一。任务在手，首先遇到的问题是选题。我担任九年级数学课，处在中考考前的复习阶级,能选的内容较多。我考虑既然这次是一次展示的活动，那我应该将我班学生最真实情况反映出来。当时我正在进行专题复习，于是我决定把这次听课活动与复习进度统一起来。我把内容定为《折纸中的数学问题》，下面的一步就是选题目。由于《折纸中的数学问题》这一内容是当前中考的热点问题，能选的题目很多。以下是我所选的几个例题。

问题1：将矩形ABCD沿对角线AC折叠。

⑴、猜想叠合部分是什么图形？并验证你的猜想。

    ⑵、若矩形ABCD中 AD=4,AB=3, 求叠合部分的面积。

问题2：折叠矩形ABCD，让AB落在对角线AC上。

⑴、你能确定折叠后点B的位置?(折一折,想一想)

⑵、若矩形ABCD中，AD=4，AB=3，你能求出图中哪些线段的长度？并与你的同伴交流。

问题3: 如图：将边长为1的正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后BC与交于点G。

⑴、若M是CD的中点。求证：DE:DM:EM=3:4:5

⑵、若M是CD上的任意一点，连接AM，猜想AM与EF的关系，并加以验证。

⑶、设DM的长为x，梯形CDEF的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由。

由于折纸是日常生活中常见的动手操作活动，以折叠为背景的几何题，应抓住图形变换中的某些对应元素（边或角）相等这一关键因素来寻找解题途径。动手可以让学生更直观的进行观察、试验、猜测、验证、推理、交流等数学活动，动手也能使课堂更加生动活泼、主动和富有个性。所以我在课外让学生分别准备好两张矩形纸片、两张正方形纸片。为了慎重起见，我又进行了一个班的试讲，并邀请了同组的几个同伴先听，根本没有达到我所预想的效果，动手折好后根本不知道如何考虑问题，回答问题的时候偏离了轨迹。下课后同伴们直言不讳的提出了很多中肯的意见，课前的准备要改，上课的方法要改，提问的方式要改等等。我于是在另一个班调整方法先把例题分发给全班学生，让学生分组先在课外进行讨论，明天积极发言。同学们都积极响应，跃跃欲试。于是万事俱备，只待明天上课。

正式上课终于开始了。我先引导大家：折叠得到了什么？有同学说，全等、有同学说，得到了直角三角形、有同学说，折痕与对称点的连线也有关系……于是我话锋一转：那么我们今天就来一一验证同学的想法。在一堂课中，我每问一个问题，大家都能异口同声地回答，并能完整的阐述自己的想法，在问题2中学生用了三种不同的方法求得CE的长，即用勾股定理、相似三角形、三角函数。学生思维的火花被激活了，课堂的气氛达到的高潮。接下去在问题3中我利用一图多变，一图多用，一题多解，以问题串的形式逐层推进，注意分层教学，让不同的学生得到不同的发展；学生沉浸在数学的海洋中，问题解决的很顺利。只是问题3的第（3）小题难度很大，不是一般学生所能解决，所以我提示：你能用x的代数式表示DE吗？难就难在“设DE＝y”，这是非常难以逾越的鸿沟！经提醒后较好的学生得出了漂亮的答案如下：

设DE＝y，EA＝1－y＝EM

勾股定理得x2＋y2＝（1－y）2　

由（2）知△DMA≌△EHF∴HF＝DM＝x

又DE＝CH＝∴CF＝x＋＝x＋

S梯EFCD＝（DE＋CF）·DC＝

＝－

当x＝时，S最大＝

∵0＜x＜1　符合实际。

一堂课下来，学生的反应看起来十分热闹，我自己都感到是否太顺利了？在课后的点评当中，同伴们对这堂课还是比较满意的，但他们还是给我提出了一点：一堂课下来，当遇到值得探究的地方都是听到大家在齐声回答，而水平较低的几位同学反应就不是很好，能否照顾一下成绩差的同学，让更多的孩子体验成功！让他们也动起来？我也深有同感。

三、课后反思

1、这堂课总体来讲是比较成功的，我想这主要是我们课前的认真准备分不开的。真是由于我平时有空时，喜欢翻一翻全国各地区的中考试题，所以选题并没有花我多大功夫，并能使所选例题比较典型。

2、所选方法比较好，让大部分参与到课堂能较好处理开放题.注意了开放题不只是“开放”还加强了“收”的艺术与方法.问题的解决不是教师的直接给出，整个课堂恰倒好处地激发、利用学生的思维火花，充分暴露学生的思维过程，让学生真正理解问题解决的来龙去脉与前因后果。

3、但是在成功的背后，也有不足的地方。我在准备这堂课的时候，是希望把我们学生的真实情况和我们的真实教法展示给大家。但是这堂课真的是全部真实的吗？我们的学生平时听课倒是一样认真，但他们回答老师的问题就没有这么积极，学生在七年级时，上课往往能积极发表自已的见解，到八年级这些学生就减少了，一到九年级，这一情况就更加明显。九年级学生面临中考，上课内容难度增加，此时我们往往十分注重对方法知识的归纳，抓主要矛盾，而对其他方面如课堂气氛比较忽视。这有待于我们去进一步改变。

四、活动启示

1、教师专业成长，需要有合适的平台。我们学校每学期的校内公开课活动，给教师提供了展示自己教学风采的舞台，通过扎扎实实的练兵，使教师获得成长的机会。

2、教师专业成长，需要有专家引领和同伴的帮助。通过专家引领有利于加深自己对课程与教材的理解。通过教师互动评课，更清楚地发现了自己的课堂中的不足，有利于自己教学技能的提高。

3、教师专业成长，需要自身不断的学习、进取。教师专业成长的过程，实际上也是教师学习的过程。我们应该充分的利用身边一切资源，为自己不断的加油。现在的互联网技术日益发达，给我们提供了便捷的交流学习渠道，我们应该可以充分的掌握和利用。