《线的垂直平分线》例题精讲与练习【知识精讲】一条直线经过线中点且与该线垂直，则称该直线为线的垂直平分线(又称中垂线).线的垂直平分线是一条直线，它是到线两端距离相等的点的集合.关这一点需从两个面去说明，1.定理：垂直平分线上的点到线两端距离相等，2.它的逆定理：到线两端距离相等的点在线中垂线上.关1的证明，利用了全等三角形，而有关2的证明则利用等腰三角形的“三线合一”的性质.【难点】本节难点在对“垂直平分线上的点是到线两端距离相等的点的集合”这句话的两层含义的理解与掌握上.通过本节学习，要能很好的用中垂线解决问题.例1 已知△ABC中，AB，BＣ，ＣＡ的中垂线分别为l1,l2,l3（图3.14-1）.求证l1,l2,l3三线共点. 图3.14-1分析 可考虑先设l1,l2,交点O，再设法证明O在l3上，从而达到证l1,l2,l3共点的目的.证 设l1,l2交O，连OA，OB，OC.∵l1为AB中垂线∴OA=OB,同理OB=OC ∴OA=OC ∴O在AC中垂线上.即O在l3上，∴，l1l2l3共点.注：该点叫三角形的“外心”，它与三条中线的交点重心，三条高的交点垂心及内角平分线交点内心称为“三角形的四心”例2 若三角形三边的中垂线的交点在某一边上，则该三角形一定是( )A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形 图3.14-2分析 如图3,14-2 P为中垂线交点，且在AB上，连PC，则PA=PB=PC.∴∠1=∠A ∠2=∠B. ∠1+∠2=∠A+∠B= =90°∴∠ACB=90° 故选C例3 如图3.14-3,△ABC中∠A=120° AB=AC,AB的中垂线交ABD，BCF.则 = . 图3.14-3分析 ∠A=120° AB=AC ∴∠B=∠C=30°又DE为中垂线AE ∴EA=EB ∠EBA=∠EAB=30°∠EAC=90° ∠C=30°∴AE=BE= EC ∴ = 例4 如图3.14-4，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交ABE，BC延长线F，求证∠CAF=∠B. 图3.14-4分析 本题从结论入手较困难，应从EF为AD中垂线这一条件入手，得到FA=FD，即△ADF为等腰三角形，∴∠2+∠3=∠4,而∠4为△ABD的外角，∴∠4=∠B+∠1,再由已知∠1=∠2可得结论∠3=∠B.证 ∵EF为AD中垂线∴AF=DF ∴∠2+∠3=∠4，又∠4=∠1+∠B ∴∠2+∠3=∠1+∠B ∵∠1=∠2∴∠3=∠B 即∠CAF=∠B.【难 |
