三角形的角平分线 是三角形的主要线之一，它在几的计算或证明中，起着“桥”的作用．那么如利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明．一、“以角平分线为轴翻折”构造全等三角形此情形可构造两种基本图形如图1、2所示：如图1，以AD为轴翻折，使点C落在AB上（即在AB上截取AE = AC），得△ACD≌△AED．如图2，以AD为轴翻折，使点B落在AC的延长线上（即延 长AC到E，使 AE = AB），得△ABD≌△AED．例 1 如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB + BD = AC，求∠B ∶∠C的值．解法1：在AC上截取AE = AB ，连结AE．∵∠BAD = ∠DAE，AD = AD， ∴△ABD≌△AED， ∴∠B = ∠AED，BD = DE．又∵AB + BD = AC， ∴CE = BD = DE，∴∠C = ∠EDC，∴∠B = ∠AED = 2∠C，∴∠B ∶∠C = 2∶1．解法2：延长AB到E，使AE = AC ，连结DE．请读者一试．二、“角平分线 + 垂线”构造全等三角形或 等腰三角形1、根据角平分线的性质作垂线：自角的平分线上一点向两边作垂线，得两个全等的直角三角形；2、根据等腰三角形的 “三线合一”性质作垂线：自角的一边上的一点作角平分线的 垂线， 使之与另一边相交，则截的一个等腰三角形．例 2 如图4，在四边形ABCD中，BC > BA，AD = DC，BD平分∠ABC．求证：∠A + ∠C = 180°．证明：过点D作DE⊥AB，交BA延长线点E，作DF⊥BC，交BC点F ．∵BD平分∠ABC，∴DE = DF ．又∵AD = DC，∴Rt△EAD≌Rt△FCD，∴∠C = ∠EAD．∵∠EAD + ∠BAD = 180°，∴∠C + ∠BAD = 180°．例 3 如图5，已知等腰Rt△ABC中，∠A = 90°，∠B的平分线交ACD，过C作BD的垂线交BD的延长线E．求证：BD = 2CE .证明：延长CE交BA的延长线点F ． ∵BE是∠B的平分线，BE⊥CF，∴∠BCF = ∠F， ∴△FBC是等腰三角形．∴CE = FE． ∴CF = 2CE． ∵AB = AC，∠ABD = ∠ACF，∠BAD = ∠CAF = 90°，∴Rt△BAD≌Rt△CAF．B |
