13.4课题学习 最短路径问题知识点：1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线的和最小的问题，只要找到其中一个点关这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线最短的性质，将所求线之和转化为一条线的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点 到直线上某点的距离和最小 这个核心，所有作法都相同．3．利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸 的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线的和最小的问题．练习：1.如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．2.如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，3..在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 4. 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地？5. 如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？ 参考答案：1. 2.这时先作点B关直线l的对称点B′，则点C是直线l与 AB′的交点． 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关直线l对称，所以直线l是线BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′ C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.3. 解：如图所示：(1)作点B关直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l点M.(3)则点M即为所求的点． 4.解：(1)如图1，取线AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EFP，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大AB为半径画弧，两弧交两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．(2)如图2，画出点A关河岸EF的对称点A′，连接A′B交EFP ，则P到A，B的距离和最短． 5. |
