13、4 课题学习 最短路径问题白日登山望烽火，昏饮马傍交河探索一：将军饮马 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地。到河边什么地饮马可使他所走的路线全程最短？A● 当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 作法：（1）作点A 关直线l 的对称 点A′；A′C（2）连接 A′C ，与直线 l 的交点即为 所求点C．连接AC； 则 AC +BC = A′ C + BC = A′B 最短 问题1: 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，●●●● 问题2 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ B·lA·B′CC′●●证明：如图，在直线l 上取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知: ∴AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′ 在△AB′C′中 AC′ +B′C′ > AB′ ∴ AC′+BC′ > AC +BC 即AC +BC最短。 BC =B′C，BC′=B′ C′●“将军饮马”问题的解决思路： 1、首先，利用轴对称的性质作出对称图形； 2、其次，将直线同侧点转为异侧点； 3、最后，利用“两点之间线最短”解决问题。走进生活： 如图，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地，可使其到A、B两地的路程最短？ 小露一手： 如图，正形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正形ABCD的内部，点P为对角线AC上一动点，则PD+PE的最小值为 ( )C ( D′)● 继续出击！ 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边在△ABC外侧作等边△ ACD，过点D作DE⊥AC点 F，交ABE，AB=10cm，BC=6cm，P为 线DE上一动点，连接PC，PB，则△PBC长的最小值为( )A●●( C′)跟我来拓展：一点两线 已知：如图点A是锐角∠MON内部一定点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B、C，使组成的△ABC 长最小. 求作B、C两点的位置。A′A″BC●●●●北盘江大桥探索二：造桥选址 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在处才能使从A到B的路径AMNB最短？ |
