13.4 课题学习 最短路径问题（第1）教学目标1．了解将军饮马及造桥选址两个见类型．2．会解答将军饮马及造桥选址中的最短路径问题．3．能初步应用将军饮马及造 桥选址两个见类型完成类似题目 ．教学难点1．将实际问题抽象为数学问题．2．解答最短路径问题．教学内容将军饮马．教学过程一、导入新课问题1 如下图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什 么地饮马，可使所走的路 径最 短？ 二、探究新知1．将实际问题抽象为数学问题师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识．（1）把A、B两地抽象为两个点；（2）把河边l近似地看成一条直线（下图），C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小． 2．尝试解决数学问题（1）由这个问题，我们可 以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交一点，根据“两点之间，线最短”，可知这个交点即为所求．（2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如在l上找到一个点，使得这个点到点A、点 B的距离的和最短？（3）如能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使新问题得到解决．（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？学生独立思考 后，尝试画图，完成问题．小组交流，师生共同补充得出：作出点B关l 的对称点 B′， 利用轴对称的性质，可以得到 CB′＝CB（下右图）．连接AB′，则AB′与l 的交点即为所求． 3．证明“最短”师生共同分析，合作证明“AC＋BC”最短 ．证明：如上右图，在直线l上的 一点C′（与点C不重合） ，连接AC′，BC′，B′C′，由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′．∴ AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴ AC＋BC＜AC′＋BC′．即AC＋BC最短．提问：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上取一点C′（与点C 不重合），证明AC＋BC＜AC′＋BC′？这里“C′”的作用是什么？学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识．三、巩固练 习已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的长最短吗？学生独立完成，必要时教师点拨指导 |
