13.4 课题学习 最短路径问题教学目标：1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用. 3、感悟转化思想．学习： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 最短”问题．教学过程 一、探索新知问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （ 2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）． 问题 2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？ 追问1 对问题2，如将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ 追问2 你 能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件 的点B′吗？ 问题2 如图，点A，B 在直线 l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？ 作法：（1）作点B 关直线l 的对称 点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交 点C． 则点C 即为所求． 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′．追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ C 不重合）与A，B 两点的距离和都大AC +BC，就说明AC + BC |
