《最短路径问题》在生产和经营中为了省时省力希望寻求最短路径，因此最短路径问题在现实生活中是经遇到的问题。本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题“的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线和最短问题，再利用轴对称将线和最小转化为两点之间，线最短问题，让学生体会数学来源生活，又服务生活。【知识与目标】能利用所学轴对称的知识解决简单的最短路径问题。【过程与法目标】在探索最短路径的过程中，培养学生的探究、数学归纳，分析问题、解决问题的。【情感态度价值观目标】在探索最短路径的过程中，让学生感悟转化的思想，获得成功的体验。【教学】将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的法。【教学难点】探索发现“最短路径”的案，确定最短路径的作图及原理。 多媒体课件、教具等。一、回顾导入前面我们研究过一些关“两点的所有连线中，线最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线中，垂线最短”等的问题，我们会称它们为最短路径问题，同学们仔细回顾一下原来的知识，然后思考我们教材中的问题1。二、传授新知转化为数学问题，如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点。 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B如下：证明：由作图可知，点B和B′关直线l对称，所以直线l是线BB′的垂直平分线。因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′。在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B。问题2.如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？ 思路导引：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可。此时两线应在同一平行向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥。学生之间相互交流合作完成问题2的求解以及证明。三、教材93页第15题。略。 |
