应用拼图法证勾股定理勾股定理是几中重要的定理之一，长期以来，人们对它进行了大量的研究，找到了多不同的证明法，这些证法不仅证明了定理，而且丰富了研究数学问题的法和手，促进了数学的发展．目前世界上可以查到证明勾股定理的法不下几百种，大多是通过构建特殊图形来证明的．下面介绍几种著名的拼图法，供同学们参考．（一）茄菲尔德总统拼图如图1，在直角梯形中，上底为a，下底为b，高为a＋b．梯形中有三个直角三角形，其中两个小的直角三角形全等．法如下：设梯形面积为S，则S＝ （a＋b）（a＋b）＝ a２＋ b２＋ab，S＝ ab＋ ab＋ c２＝ c２＋ab．比较上面两式，则有a２＋b２＝c２．（二）达·奇拼图如图2， ， ， ， ，由两个大正形面积相等，显然a２＋ b２＝c２．（三）的“弦图”如图3，在边长为c的正形中，有四个斜边长为c的全等的直角三角形，它们的直角边长分别为a，b，利用这个图形证明勾股定理（这是我国古代数学家的拼图），法如下：∵ 大正形的边长为c，设其面积为S，小正形的边长为a－b，∴ S＝c２，S＝(a－b)２＋4× ab＝a２－2ab＋b２＋2ab＝a２＋b２，∴ a２＋b２＝c２．（四）徽的“青出入图”如图4，三角形ABC为直角三角形，以勾为边的正形为，以股为边的正形为青．以盈补虚，将、青二并成弦．依其面积关系有a２＋b２＝c２．“青出入图”，不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理．例 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明法．如图5，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB′C′D′的位置，连接AC，AC′，CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a２＋b２＝c２．证明：∵ 四边形BCC′D′为直角梯形，∴ S梯形BCC′D′＝ （BC＋C′D′）·BD′＝ ．∵ Rt△ABC≌Rt△AB′C′，∴ ∠BAC＝∠B′AC′．∴ ∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′＝∠CAB′＋∠BAC＝90°．（或：矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°，AC旋转到AC′的位置，则∠CAC′＝90°）∴ S梯形BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′＝ ab＋ c２＋ ab＝ ．∴ ＝ ，∴ a２＋b２＝c２． |
