24.2.2 直线和圆的位置关系 （第2）学习目标：1.掌握切线的判定定理并会运用定理解决相关问题；2.会过圆上一点画圆的切线学习：切线的判定定理学习难点：切线的判定观察、提出问题、分析发现 根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？ 请在⊙O上意取一点A，连接OA。过点A作直线 l⊥OA。思考一下问题：1. 圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?2. 二者位置有什么关系？为什么？3. 由此你发现了什么？l发现：(1)直线 l 经过半径OA的外端点A； (2)直线l垂直半径0A． 则:直线l与⊙O相切这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的法——切线的判定定理．直线与圆相切的判定定理： 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。 对定理的理解：切线需满足两条： ①经过半径外端； ②垂直这条半径． Orl A如图所示∵ OA是半径， l ⊥ OAA∴ l是⊙O的切线。定理的几符号表达： 下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水，在砂轮上打磨工件飞 出的火星，都是沿着圆的切线的向飞出的．问题： 1. 当你在下雨天，快速转动雨伞时水飞出的向是什么向？ 2. 砂轮打磨工件飞出火星的向是什么向？ 例1 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB， CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线.证明：连接OC.∵ OA=OB ， CA=CB ，∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线.∴ OC⊥AB. ∴ AB是⊙O的切线.OBCA如图，如果直线l是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线 l 是不是一定垂直呢?我们有切线的性质定理:圆 的 切 线 垂 直 过 切 点 的 半 径.AlO辅助线：无交点，作垂直，证等半径.〖例2〗已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥ABD,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCD证明：过O作OE⊥ACE。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD 即圆心O到AC的距离 d = r ∴ AC是⊙O切线。 例1与例2的证法有不同? (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线为辅助线,再 |
