第十七章 勾股定理17.1 勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 勾股定理的证明：法一： ， ，化简可证．法二：四个直角三角形的面积与小正形面积的和等大正形的面积．四个直角三角形的面积与小正形面积的和为 大正形面积为 ∴ 法三： ， ，化简得证17.2 勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ， 为正整数时，称 ， ， 为一组勾股数见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等例、在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c．错解 由勾股定理，得c= = =5诊断 这里默认了∠C为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b＞a时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况． 当∠B为直角时，c= = = 例、已知Rt△ABC中，∠B=RT∠，a= ，c= ，求b.错解 由勾股定理，得B= = = 诊断 这里错在盲目地套用勾股定理“a2＋b2=c2”．殊不知，只有当∠C=Rt∠时，a2＋b2=c2才能成立，而当∠B=Rt∠时，则勾股定理的表达式应为a2＋c2=b2．正确解答 ∵∠B=Rt∠，由勾股定理知a2＋c2=b2．∴b= = = 例、若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为________．错解 设第三边长为xcm．由勾股定理，得x2=62＋82．x= = =10即第三边长为10cm．诊断 这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边．正确解法 设第三边长为xcm．若第三边长为斜边，由勾股定理，得x= = =10(cm)若第三边长为直角边，则8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得x= = = (cm)因此，第三边的长度是10cm或者 cm.例、如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，AM是中线，且AM= BC= AD.又RT△ABC的长是(6+2 )cm.求AD．错解 ∵△ABC是直角三角形，∴AC:AB:BC=3:4:5∴AC∶AB∶BC=3∶4∶5．∴AC= (6+2 )= ，AB= (6+2 )= ，BC= (6+2 )= 又∵ = ∴AD= = = = (3 |
