12.3 角的平分线的性质 1．角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等．(2)书写格式如图所示， ∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.谈 角平分线的性质的理解和应用(1)使用角的平分线的性质有两个条件：①点在角的平分线上；②过这一点作角的两边的 垂线．结论是：这点到角的两边的距离相等，即两条垂线相等．(2)角的平分线的性质是证明两线相等的法之一，而且不用再证明两个三角形全等．(3)如果已知一个点在角的平分线上，作出该点到角两边的垂线，运用性质得到两线相等．【例1】 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC点D.若CD＝2 cm，则点D到直线AB的距离是__________ cm. ：因为点D在∠ABC的角平分线上，所以点D到直线AB的距离等点D到直线BC的距离，即点D到直线AB的距离等CD的长．答案：22．角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(2)书写格式如图所示， ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴点P在∠AOB的角平分线上．(3)作用运用角的平分线的判定，可以证明两个角相等和一条射线是角的平分线．警误区 角的平分线的性质和判定适用的条件 在运用角的平分线的性质和判定时，往往错误地将一线当作“距离”，主要原因是不能正确理解角平分线的性质和判定，因此在运用角的平分线的性质和判定时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件．【例2】 如图所示，BE＝CF，BF⊥AC点F，CE⊥AB点E，BF和CE交点D，求证：AD平分∠BAC. 证明：∵BF⊥AC，AB⊥CE，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.在△BDE 和△CDF中，∵∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE＝DF.又∵BF⊥AC，AB⊥CE，∴AD平分∠BAC(角的内部到角的两边距离 相等的点在角的平分线上)． 3．运用角的平分线的性质解决 实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，确定两线夹角 的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中用的法．4．运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，先把实际问题转化为 数学问题， |
