《等腰三角形判定》例题精讲与练习【知识精讲】本节括等腰三角形判定，特殊等腰三角形(等边三角形)的判定及特殊直角三角形(一个锐角为30°的直角三角形)的短直角边与斜边的关系.后几个定理都是判定定理的推论.等腰三角形判定定理：若一个三角形有两个角相等，那么两角所对边也相等.它与性质定理互为逆定理，判定也简写成“等角对等边”.推论1 三个角相等的三角形是等边三角形.推论2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.推论3 直角三角形中，若有一个锐角为30°，则该角所对的直角边为斜边的一半.关推论1，也有说成“有两个角为60°的三角形是等边三角形”理由是显然的.对判定定理的证明，可用作第三个角的角平分线或等角夹边上的高相等.作辅助线法，通过全等来进行证明.但不能作夹边中线来解决，因为此时两个三角形不能满足全等判定.在掌握了“大边对大角”后，亦可利用反证法来进行证明.设两角对边不相等，则长边所对的角必大，与两角相等矛盾.判定定理及几个推论在今后有着广泛的应用.【难点】本节均在判定定理及几个推论的掌握及灵活运用上.判定定理为我们证明线相等提供了除全等以外的又一重要手，而推论又为已知线之间的关系(相等或成1∶2的比例)求角的度数，提供了有力的工具.例1 △ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,D为BC上一点，DA⊥AB，AD=24,求BC.（图3.13-1） 图3.13-1分析 由已知等腰三角形顶角120°,可求出底角30°(∠B=30°)，可计算出∠C=∠CAD=30°.再利用等腰△ADC及有一个锐角为30°的Rt△ADB三边的关系求出结论.解 ∵AB=AC ∠BAC=120° ∴∠B=∠C=30°.又AD⊥AB ∴∠CAD=30°=∠CAD= DB=CD∴BC=BD+DC=2AD+AD=3AD ∵AD=24 ∴BC=72.例2 △ABC中，∠B＞∠C，求证AC＞AB. 图3.13-2分析 本题可通过在大角内构造一个角等∠C，再通过等腰三角形判定及三角形三边关系得出结论.本题亦可利用“等边对等角”“大边对大角”定理，通过反证法说明AC≤AB不成立，进而得结论.证一 ∵∠B＞∠C 在∠B内作∠CBD=∠DCB，BD交ACD.∴BD=DC 在△ABD中AD+BD＞AB∴AD+DC＞AB ∴AC＞AB.证二 设AC≤AB.若AC=AB 则∠B=∠C，若AC＜AB,则∠B＜∠C，均与∠B＞∠C矛盾 ∴AC≤AB不成立 ∴AC＞AB注：本例结论为一个定理：一个三角形中两内角不相等，则较大内角的对边也较大.(简称为“大角对大边”)与上节例3(图 |
